1、四空间向量的坐标 (15分钟30分)1已知a(2，3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x等于()A(0，3，6) B(0，6，20)C(0，6，6) D(6，6，6)【解析】选B.由bx2a，得x4a2b(8，12，16)(8，6，4)(0，6，20).2已知向量a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，若a与b为共线向量，则()Ax1，y1 Bx，yCx，y Dx，y【解析】选C.因为a(2x，1，3)与b(1，2y，9)共线，所以(y0)，所以x，y.【补偿训练】(多选题)已知a(1，0，2)，b(6，21，2)，若ab，则与的值可以是()A2， B3， C3，2 D，2【解析】选AB.
2、由题意知：解得或3已知a(1，0，1)，b(x，1，2)，且ab3，则向量a与b的夹角为()A B C D【解析】选D.因为abx23，所以x1，所以b(1，1，2)，所以cos a，b，又因为a，b0，所以a与b的夹角为.4已知a(1，5，2)，b(m，2，m2)，若ab，则m的值为()A0 B6 C6 D6【解析】选B.因为ab，所以1m522(m2)0，解得m6.5已知e1，e2，e3是单位正交基底，a3e12e2e3，be13e3，(1)分别求a2b与a的坐标；(2)若ce1xe2e3，且ac4，求x的值【解析】由题意得：a(3，2，1)，b(1，0，3)，c(1，x，1)，(1)a2
3、b2；a390918.(2)因为ac32x14，所以x0. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知空间向量a(1，x，1)，b(3，1，y)，c(z，0，0)，abc，则xyz的值为()A2 B2 C2 D0【解析】选C.因为空间向量a(1，x，1)，b(3，1，y)，c(z，0，0)，abc，所以(2，x1，1y)(z，0，0)，所以解得x1，y1，z2，所以xyz(1)(1)22.2已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1 B C D【解析】选D.依题意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|
4、a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k.3已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是()A90 B60 C45 D30【解析】选A.ab(cos sin ，2，sin cos )，ab(cos sin ，0，sin cos )，所以(ab)(ab)0，所以(ab)(ab).4已知向量a(2，1，2)，b(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A B C4 D8【解析】选B.因为|a|3，|b|3，所以cos a，b，所以sin a，b，所以S|a|b|sin a，b.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，
5、选对但不全的得3分，有选错的得0分)5下列每组两个向量满足平行的是()A，B，C，D，【解析】选BD.根据空间向量平行的条件，3，2，所以B，D选项的两向量平行6已知向量a(1，2，3)，b(3，0，1)，c(1，5，3)，下列等式中正确的是()A(ab)cbc B(ab)ca(bc)C(abc)2a2b2c2 D|abc|abc|【解析】选BCD.A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边(4，2，2)(1，5，3)0，右边(1，2，3)(2，5，4)210120，所以左边右边，因此正确Cabc(3，7，1)，左边3272(1)259，右边122232320(1)2(1)252
6、(3)259，所以左边右边，因此正确D由C可得：左边；因为abc(1，3，7)，所以|abc|，所以左边右边，因此正确三、填空题(每小题5分，共10分)7已知向量a(2，3，6)，则_，与a同向的单位向量为_【解析】设a，则|a|7，则与其同向的单位向量为a.答案：78已知a(3，2，3)，b(1，x1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_【解析】因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，所以3(1)(2)(x1)(3)12.若a与b的夹角为，则x，所以x.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9(1)设向量a(3，5，4)，b(2，0，3)，c(0，0，2)，求a(bc)，a6b8c
7、.(2)已知向量b(x1，y2，z)和向量a(1，2，3)，求x，y，z的值，使向量b与a同向，且|b|2.【解析】(1)因为向量a(3，5，4)，b(2，0，3)，c(0，0，2)，所以a(bc)(3，5，4)(2，0，5)(1，5，9).a6b8c(3，5，4)(12，0，18)(0，0，16)(15，5，2).(2)因为向量b与a同向，且|b|2，所以解得x1，y2，z6.10已知向量a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，且ab，bc.(1)求向量a，b，c.(2)求向量ac与向量bc所成角的余弦值【解析】(1)因为ab，所以，且y0，解得x2，y4，此时a(2，4，1)
8、，b(2，4，1).又由bc得bc0，故(2，4，1)(3，2，z)68z0，得z2，此时c(3，2，2).(2)由(1)得ac(5，2，3)，bc(1，6，1)，因此向量ac与向量bc所成角的余弦值为cos .1已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量ab，ab，c是空间的另一个基底，若向量p在基底a，b，c下的坐标为(3，2，1)，则它在ab，ab，c下的坐标为()A BC D【解析】选D.设向量a(1，0，0)，b(0，1，0)，c(0，0，1)；则向量ab(1，1，0)，ab(1，1，0)，又向量p(3，2，1)，不妨设px(ab)y(ab)zc，则(3，2，1)(xy，xy，
9、z)，即解得所以向量p在ab，ab，c下的坐标为.2已知空间向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，定义两个空间向量a与b之间的距离为d(a，b).(1)若a(1，2，3)，b(4，1，1)，c，证明：d(a，b)d(b，c)d(a，c).(2)已知c(c1，c2，c3)，证明：若0，使ba(cb)，则d(a，b)d(b，c)d(a，c).若d(a，b)d(b，c)d(a，c)，是否一定0，使ba(cb)？请说明理由【解析】(1)因为a(1，2，3)，b(4，1，1)，c，所以d(a，b)3126，d(b，c)13，d(a，c)39，所以d(a，b)d(b，c)d(a，c).(2)因为0，使ba(cb)，所以0，使得(b1a1，b2a2，b3a3)(c1b1，c2b2，c3b3)，即0，使得biai(cibi)，其中i1，2，3，所以biai与cibi(i1，2，3)同为非负数或同为负数所以d(a，b)d(b，c)d(a，c)，即d(a，b)d(b，c)d(a，c).不一定0，使得ba(cb).反例如下：取a(1，1，1)，b(1，2，1)，c(2，2，2)，d(a，b)1，d(b，c)2，d(a，c)3，则d(a，b)d(b，c)d(a，c)，因为ba(0，1，0)，cb(1，0，1)，所以不存在0，使得ba(cb).
