1、考点规范练44圆的方程基础巩固1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案:D解析:由题意可得圆的半径r=(1-0)2+(1-0)2=2,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为()A.2B.1C.3D.2答案:B解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=(x-0)2+(y-0)22=
2、|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.3.已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43答案:B解析:由题意知,ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点P,而线段AB垂直平分线的方程为y-32=33x-12,它与直线x=1联立得圆心P的坐标为1,233,则|OP|=12+2332=213.4.(2020北京模拟)若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,0C.0,+)D.5,+)答案:A解
3、析:将圆的一般方程x2+y2-4x+2y+a=0转化为圆的标准方程(x-2)2+(y+1)2=5-a,得圆心(2,-1),r=5-a.圆与x轴、y轴都有公共点,25-a,15-a,5-a0,a1.故选A.5.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()A.1+2B.2C.1+22D.2+22答案:A解析:将圆的一般方程化为标准方程(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=|1-1-2|2=2,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=2+1.故选A.6.(2020河南郑州二模)圆(x+2)2+(y-12
4、)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为()A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)2=4答案:C解析:由圆(x+2)2+(y-12)2=4可得圆心坐标为(-2,12),半径为2.由题意可得关于直线x-y+8=0对称的圆的圆心与(-2,12)关于直线对称,半径为2,设所求的圆的圆心为(a,b),则a-22-b+122+8=0,b-12a+2=-1,解得a=4,b=6,故圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4.故选C.7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0k243所表示的圆的面积取最大值时,直线
5、y=(k-1)x+2的倾斜角=.答案:34解析:由题意知,圆的半径r=12k2+4-4k2=124-3k21k20),则|2a|5=455,即a=2.又点M(0,5)在圆C上,则圆C的半径r=22+5=3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.9.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的标准方程.解：(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得4x0-23-x0=1,则x0=1,即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=22,故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r
6、0),根据已知条件得y0=-4x0,(3-x0)2+(-2-y0)2=r2,|x0+y0-1|2=r,解得x0=1,y0=-4,r=22.因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若点P到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.解：(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得|x0-y0|2=22.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-
7、y0|=1,y02-x02=1.由x0-y0=1,y02-x02=1,得x0=0,y0=-1.此时,圆P的半径r=3.由x0-y0=-1,y02-x02=1,得x0=0,y0=1.此时,圆P的半径r=3.故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.能力提升11.(2020全国高考卷模拟)已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,则CMN面积的最大值为()A.100B.25C.50D.252答案:D解析:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4AF0,将(4,6),(-2,-2),(5,5)代入,可得52+4D+6E+F=0,8-
8、2D-2E+F=0,50+5D+5E+F=0,解得D=-2,E=-4,F=-20.故圆C的一般方程为x2+y2-2x-4y-20=0,即(x-1)2+(y-2)2=25,圆心坐标为(1,2),半径r为5.设点C到直线MN的距离为d,则|MN|=2r2-d2=225-d2,SCMN=12|MN|d=d25-d2d2+(25-d2)2=252,当且仅当d=25-d2,即d=522时取等号,CMN面积的最大值为252.故选D.12.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12x上,并且在x轴上截得的弦长为23,则圆M的标准方程为.答案:(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4解析:设
9、圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.13.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.(1)求AB的坐标;(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.解：(1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,ABOA=0,得x2+y2=100,4x-3y=0,解得x=6,y=8或x=-6,y=-
10、8.若AB=(-6,-8),则yB=-11与yB0矛盾.x=-6,y=-8舍去,即AB=(6,8).(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圆心为C(3,-1),半径r=10.OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5),直线OB的方程为y=12x.设圆心C(3,-1)关于直线y=12x的对称点的坐标为(a,b),则b+1a-3=-2,且a3,b-12=12a+32,解得a=1,b=3,故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.高考预测14.已知平面区域x0,y0,x+2y-40恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)及其内部所覆盖,则圆C的方程为.答案:(x-2)2+(y-1)2=5解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=|PQ|2=5,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.