1、专题39：双曲线2023年高考第一轮复习1双曲线的定义(1)平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数 2a(2a0，c0.当 2a|F1F2|时，M 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质范围xa 或 xa，yRya 或 ya，xR对称性对称轴：对称中心：顶点渐近线离心率实、虚轴a，b，c的关系3等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2(0)(2)等轴双曲线离心率 e 2两条渐近线 yx 相互垂直5双曲线中的几个常用结
2、论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.(2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.(4)设 P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线PA，PB 斜率存在且不为 0，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为b2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为F1PF2.6巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0
3、)有共同渐近线的方程可表示为(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为 mx2ny21(mn0)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()(2)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(3)双曲线x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn=0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()考向1：双曲线的定义及其应用1.已知双曲线 C：x2a2y291(a0)的左、右焦点分别为 F1，F2，一条渐近线与直线 4x3y0 垂直，
4、点 M 在 C 上，且|MF2|6，则|MF1|()A2 或 14B2C14D2 或 10【解析】由题意知3a34，故 a4，则 c5.由|MF2|60，b0)左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5 P 是 C 上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为 4，则 a=()A1B2C4D8解析：5ca，5ca，根据双曲线的定义可得122PFPFa，1 2121|42PF FPFFSP，即12|8PFPF，12FPF P，22212|2PFPFc，22121224PFPFPFPFc，即22540aa，解得1a ，3.双曲线x216y291 的左、右焦点分别为 F1，F2，在左支上过点 F1 的
5、弦 AB的长为 5，那么ABF2 的周长是()A12B16C21D26解析：依题意知|AF2|AF1|2a8，|BF2|BF1|2a8，(|AF2|AF1|)(|BF2|BF1|)16，又|AB|5，|AF2|BF2|16(|AF1|BF1|)16|AB|16521.|AF2|BF2|AB|21526.即ABF2的周长是 26.故选 D.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程(2)在“焦点三角形”中，当F1PF290时，SPF1F2b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的
6、关系考向2：双曲线的标准方程1(2017 年高考数学课标卷理科)已知双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点，则C 的方程为()A221810 xyB22145xyC22154xyD22143xy【解析】由渐近线的方程52yx，可设双曲线的方程为2245xy又椭圆221123xy的焦点坐标为3,0所以0，且24531，故所求双曲线 C 的方程为：22145xy，故选 B2.若双曲线的渐近线方程为 y12x，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为_解析：椭圆x24y21 的焦点坐标是(3，0)设双曲线标准方程为x2a2y2b21(a0，
7、b0)，因为双曲线过点 P(2,1)，所以 4a2 1b21，又 a2b23，解得 a22，b21，所以所求双曲线的标准方程是x22y21，故选 B.3.已知方程222213xymnmn表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是()（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,3来源:学科 网 ZXXK【解析】222213xymnmn表示双曲线，则2230mnmn，223mnm由双曲线性质知：222234cmnmnm，其中c 是半焦距焦距22 24cm，解得1m 13n 故选 A求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2
8、a,2b或 2c，从而求出 a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在 x 轴还是 y 轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2y2n2(0)，再根据条件求的值（3）求双曲线标准方程的答题模板考向3：双曲线的渐近线方程1(2018 年高考数学课标卷（理）)双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为()A2yx B3yx C22yx D32yx 解析：因为3cea，所以22222213 12bcbeaa ，所以2ba，渐进线的方程为2yx，故选 A2(2021 年高考全国乙卷理科)
9、已知双曲线22:1(0)xCymm 的一条渐近线为 30 xmy，则 C 的焦距为_解析：由渐近线方程30 xmy化简得3yxm，即3bam，同时平方得2223bam，又双曲线中22,1am b，故231mm，解得3,0mm（舍去），2223 142cabc ，故焦距24c 故答案为：43(2018 年高考数学课标卷（理）)已知双曲线22:13xCy,O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N 若 OMN为直角三角形,则 MN A 32B3C2 3D4解析：双曲线22:13xCy的渐近线方程为：33yx，渐近线的夹角为：60，不妨设过 2,0F的
10、直线为：32yx，则3233yxyx解得33,22M;3233yxyx 解得：3,3N，则223333322MN，故选 B4(2019 年高考数学课标卷理科)双曲线 C：2242xy=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=POPF，则PFO 的面积为()A3 24B3 22C2 2D3 2【解析】由222,2,6,abcab6,2PPOPFx，又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设为在byxa上，则263222Py 1133 262224PFOPSOFy，故选 A求双曲线渐近线方程的方法求双曲线x2a2y2b21(a0，b0)或y2a2x2b21(a0，b0)
11、的渐近线方程的方法是令右边的常数等于 0，即令x2a2y2b20，得 ybax；或令y2a2x2b20，得 yabx.考向4：双曲线的离心率1(2021 年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线 C 的两个焦点，P为 C上一点，且121260,3F PFPFPF，则C 的离心率为()A72B 132C 7D 13解析：因为213PFPF，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa，所以2PFa，13PFa；因为1260F PF,由余弦定理可得222492 3cos60caaaa ，整理可得2247ca，所以22274ace，即72e 故选：A2 (2019 年 高 考 数 学 课 标 全
12、 国 卷 理 科)设 F 为 双 曲 线:C22221xyab 0,0ab的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222xya交于P，Q 两点，若 PQOF，则C 的离心率为A 2B 3C2D 5【解析】设 PQ 与 x 轴交于点 A，由对称性可知PQx轴，又|PQOFc，|2cPA，PA 为以OF 为直径的圆的半径，A 为圆心|2cOA,2 2c cP，又 P 点在圆222xya上，22244cca，即222ca，2222cea，2e，故选 A3 (2018 年 高 考 数 学 课 标 卷（理）)设12,F F是 双 曲 线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，Q 是坐标原
13、点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若16PFOP，则C 的离心率为()A 5B2C 3D 2【解析】由双曲线的性质易知2PFb，2OFc，所以222OPcba，在2Rt POF中，222cosPFbPF OOFc，在12PF F中，由余弦定理可得22221212212cos2PFF FPFbPF OPFF Fc所以2224622bcabbcc，整理可得2222464bcab，即222224633cabca所以223ca，所以3e，故选 C4 (2016 高 考 数 学 课 标 卷 理 科)已 知 O 为 坐 标 原 点,F 是 椭 圆C:22221(0)xyabab的左焦点,A
14、 B、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PFx轴.过点 A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则C 的离心率为()A13B 12C 23D34【解 析】由 题 意,设 直 线 l 的 方 程 为()yk xa,分 别 令 xc 与0 x,得 点()FMk ac,OEka,由OBECBM,得12 OEOBFMBC,即 2()kaak acac,整理得13ca,所以椭圆的离心率13e,故选 A.5(2016 高考数学课标卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1xyE ab的左，右焦点，点 M 在E 上，1MF 与 x 轴垂直，211
15、sin3MF F,则E 的离心率为A 2B 32C 3D2【解析1】由题可令21|MF|=3,|MF|=1，则22a=所以1a=，248c=，所以2c=，所以2e=【解析 2】离心率1221F FeMFMF，由正弦定理得1221122 2sin321sinsin13F FMeMFMFFF故选 A6 (2019 年 高 考 数 学 课 标 全 国 卷 理 科)已 知 双 曲 线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点若1F AAB，120F B F B，则C 的离心率为解析：注意到12OBOFOFc，得到OA 垂直平分1FB，则1AOFBOA，由渐近线的对称性，得12AOFBOF，可得260BOF，所以2tan3bF OBa，可得离心率212bea求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e.(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解谢谢大家！THANK YOU FOR WATCHING
