1、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则平面MNP的一个法向量是()(A)(1,0,0) (B)(0,1,0)(C)(0,0,1) (D)(1,1,1)2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()(A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1A3.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()(A) (B) (C) (D)4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
2、E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()(A)EF至多与A1D，AC之一垂直(B)EFA1D且EFAC(C)EF与BD1相交(D)EF与BD1异面5.(2012沈阳模拟)直角三角形ABC的直角边AB在平面内，顶点C在外，且C在内的射影为C1(C1不在AB上)，则ABC1是()(A)直角三角形 (B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)以上都有可能6.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定二、填空题(每小题6分，共18分)7.已
3、知平面，的法向量分别是n1，n2，若，则n1与n2的关系是.8.设正四面体ABCD的四个面BCD，ACD，ABD，ABC的中心分别为O1，O2，O3，O4，则直线O1O2与O3O4所成角的大小为.9.(易错题)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的长度之和为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012威海模拟)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4，若如图所示建立空间直角坐标系：(1)求和点G的坐标；(2)求异面直线EF与AD所成的角.11.(
4、预测题)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90，侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由.【探究创新】(16分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、N分别是A1B1，A1A的中点，(1)求的模；(2)求cos，的值；(3)求证：A1BC1M；(4)求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.答案解析1.【解析】选D.设平面MNP的一个法向量为n(x，y，z)，由已知得(1
5、,1,0)，(1,0，1)，n，n，解得，取x1，则n(1,1,1).【方法技巧】平面的法向量的求法设出平面的一个法向量n(x，y，z)，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组.两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)
6、，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即CEBD.3.【解析】选C.建立如图所示空间直角坐标系，令AA12AB2，则E(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2).(0，1,1)，(0，1,2).cos，.【变式备选】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()(A) (B) (C) (D)【解析】选D.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知AMOP总成立，即AM与OP所成角为.4.
7、【解析】选B.设AB1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，C(0, 1,0)，E(，0，)，F(，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(，)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.5.【解题提示】画出图象，利用三垂线定理的逆定理求解.【解析】选A.如图，CC1平面，BC1为BC在平面内的射影.又AB，且ABBC，ABBC1即ABC1为直角三角形.学#科#网6.【解题指南】建立坐标系，判断与平面BB1C1C的法向量的关系.
8、【解析】选B.分别以C1B1， C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a).(，0，a).又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0).0.是平面BB1C1C的一个法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.7.【解析】设a，在平面内作直线la，则由，得l，又n2，n2与直线l平行，l，n1l，n1n2.答案：垂直8.【解析】以O1为原点，O1C为x轴，O1A为z轴，建立如图所示的坐标系，设AB1，则B(，0)，D(，0)，C(，0,0)，A(0,0，)，O2(，)，O3(，0，)，O4(，)(，)，(，0)
9、，00，O1O2O3O4，即O1O2与O3O4所成的角为.答案：9.【解析】以D1为坐标原点，D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D1xyz，设CEa，DFb，则易知E(a,1,1)，B1(1,1,0)(a1,0,1)，又F(0,0,1b)，B(1,1,1)(1,1，b)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需(1,1，b)(a1,0,1)0ab1.答案：110.【解析】(1)由图可知：A(1,0,0)，B(1,4,0)，E(1,4,3)，F(0,4,4)，(1,0,1)，又，设G点坐标为(0,0，z)，则(1,0，z)(1,0,1)，z1，即G(0,0,
10、1).(2)方法一：ADBC，作EHBC且交CF于H点，则FEH为所求角，FH431，EHBC1，FEH45，即所求角为45.方法二：(1,0,0)，(1,0,1)，cos，AD和EF所成的角为45.11.【解题指南】第(1)问可以直接利用线面平行，垂直的相关定理方法进行判断，第(2)问可以猜想PA上的特殊点(例如中点位置)为E；也可以建立直角坐标系利用向量法进行证明、判断.【解析】方法一：(1)因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.而CD底面ABCD，所以PACD.在底面ABCD中，因为ABCBAD90，ABBCAD，
11、所以ACCDAD，所以ACCD.又因为PAACA，所以CD平面PAC.(2)在PA上存在中点E，使得BE平面PCD，证明如下：设PD的中点是F，连结BE，EF，FC，则EFAD，且EFAD.由已知BCAD.又BCAD，所以BCEF，且BCEF，所以四边形BEFC为平行四边形，所以BECF.因为BE平面PCD，CF平面PCD，所以BE平面PCD.方法二：因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.又因为BAD90，所以AB，AD，AP两两垂直.分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设AD2，则A
12、(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).(1)(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，所以0，0，所以APCD，ACCD.又因为APACA，所以CD平面PAC.(2)在PA上存在中点E，使得BE平面PCD，则E(0,0，)，(1,0，).设平面PCD的一个法向量是n(x，y，z)，则.因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以.取x1，则n(1,1,2).所以n(1,1,2)(1,0，)0，所以n.因为BE平面PCD，所以BE平面PCD.【探究创新】【解析】如图，建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)，
13、|.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|，cos，.(3)依题意，得C1(0,0,2)、M(，2)，(1,1，2)，(，0)，00，A1BC1M.(4)方法一：取AB中点O，连结CO，B1O，则CO平面A1ABB1，CB1O是CB1与平面A1ABB1所成的角.COAB，B1C，B1O，cosCB1O.即CB1与平面A1ABB1所成角的余弦值是.方法二：设平面A1ABB1的一个法向量是n(x，y，z)，(1，1,0)，(0,0,2)，解得，取xy1，则n(1,1,0)，直线CB1的方向向量是n1(0,1,2)，cosn，n1，sinn，n1，直线CB1与平面A1ABB1所成角的余弦值是.