1、考点规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之间,则b应取的整数值为()A.2B.1C.3D.0答案:B解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)0,即b-78(b-2)0,解得78b0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是()A.32B.12C.2D.52答案:B解析:直线y=-ax+z(a0)的斜率为-a0)的最小值为()A.0B.aC.2a+1D.-1答案:D解析:由约束条件x0,x-2y0,yx-1作出可行域(阴影部分),如图.化目标函数z=ax+y(a0)为y=-ax+z,由图可知,当直
2、线y=-ax+z过点A(0,-1)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-1.6.(2020江西南昌模拟)已知点(m+n,m-n)在x-y0,x+y0,2x-y2表示的平面区域内,则m2+n2的最小值为()A.23B.105C.49D.25答案:D解析:作出不等式组x-y0,x+y0,2x-y2所表示的平面区域,即可行域,如图所示.已知点(m+n,m-n)在可行域内,则x=m+n,y=m-n,所以m=x+y2,n=x-y2,所以m2+n2=x+y22+x-y22=12(x2+y2).所以m2+n2的最小值即为可行域内的点与原点的距离的最小值平方的一半.由图可知,可行域内的点与坐标原点的距离的
3、最小值即为原点到直线2x-y-2=0的距离,所以距离的最小值为25.所以m2+n2的最小值为12252=25.7.已知实数x,y满足条件x2,x+y4,-2x+y+c0,若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为.答案:10解析:画出x,y满足的可行域(阴影部分),如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由x=2,-2x+y+c=0,解得x=2,y=4-c,代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.由x+y=4,-2x+y+5=0,得B(3,1).当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.8.某企业生产甲、
4、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.答案:27解析:设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.由题意得x0,y0,3x+y13,2x+3y18,此不等式组表示的平面区域(阴影部分),如图所示.由图可知当y=-53x+z3经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,zmax=53+34=27(万元).9.已知实数x,y满足x-2y+40,2x+y-20,3x
5、-y-30,则x2+y2的取值范围是.答案:45,13解析:画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为252=45,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是45,13.能力提升10.(2020浙江衢州模拟)若实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+3y6,y+10,则z=2|x|-y的最小值是()A.-25B.5C.-1D.-2答案:C解析:作出实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+3y6,y+10所表示的平面区
6、域,即可行域,如图所示.由已知可得点A,B,C,D的坐标分别为A92,-1,B35,85,C(-2,-1),D(0,1).若x0,则z=2|x|-y可化为y=2x-z,由图可知,当直线y=2x-z过点D时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最小值-1.若x0,则z=2|x|-y可化为y=-2x-z,由图可知,当直线y=-2x-z过点D时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最小值-1.故选C.11.(2020湖南长沙模拟)若实数x,y满足x-y+10,x+y-30,x0,且2x+y-3k(x-2)恒成立,则k的取值范围是()A.(-,-1B.(-,1C.-1,+)D.1,+)答案:D解析:作出不
7、等式组x-y+10,x+y-30,x0所表示的平面区域,即可行域,它为ABC,其中A(1,2),B(0,3),C(0,1),如图所示.对于可行域内任一点P(x,y),都有0x1,x-20.2x+y-3k(x-2),即为k2x+y-3x-2=2+y+1x-2恒成立,转化为求z=2+y+1x-2的最大值,又y+1x-2的几何意义为点P(x,y)和点M(2,-1)连线的斜率,由图可知,kMAy+1x-2kMC,即-3y+1x-2-1.z-1,1,即zmax=1.k1.故选D.12.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的质量(单
8、位:吨)如下表所示:混合肥料A种原料B种原料C种原料甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数量.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.图解：(1)由已知,x,y满足的数学关系式为4x+5y200,8x+5y360,3x+10y300,x0,y0.该二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)如图
9、所示:(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+z3,这是斜率为-23,随z变化的一族平行直线,z3图为直线在y轴上的截距,当z3取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z3最大,即z最大.解方程组4x+5y=200,3x+10y=300,得点M的坐标为(20,24).所以zmax=220+324=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.高考预测13.已知x,y满足约束条件x-y+20,x1,x+y+k0,z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,则k=.答案:1解析:画出不等式组表示的平面区域(阴影部分),如图所示,结合目标函数的几何意义可知,目标函数在点C(1,3)处取得最大值,在点B(1,-1-k)处取得最小值,所以zmax=1+33=10,zmin=1+3(-1-k)=-2-3k.根据题意有10=-2(-2-3k),解得k=1.8