1、十八抛物线及其标准方程 (15分钟25分)1已知抛物线的标准方程为y2ax，则其焦点坐标为()A BC D【解析】选A.抛物线的标准方程为y2ax，则其焦点坐标为.2抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2 Cx1 Dx2【解析】选A.因为yx2，所以x24y，所以抛物线的准线方程是y1.3点M(5，3)到抛物线yax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2【解析】选D.分两类a0，a0)，因为抛物线拱桥离水面3米，水面宽12米，所以将代入抛物线方程可得366p，所以p6，所以抛物线方程为x212y.如果水面下降1 m，则令y
2、4，得x4，所以水面宽8 m.答案：8 m (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知曲线E的方程为ax2by2ab(a，bR)，则下列选项错误的是()A当ab1时，E一定是椭圆B当ab1时，E是双曲线C当ab0时，E是圆D当ab0且a2b20时，E是直线【解析】选A.A：若ab1，假设ab1，则方程为x2y21，不是椭圆，所以A错误；B：当ab1时，因为a0，b0，所以方程为：ax2y21，即ax21，则E表示双曲线，所以B正确；C：当ab0时，方程为：x2y2a(a0)表示圆，所以C正确；D：当ab0且a2b20时，即 a0，b0，方程为：y0，则E是直线；同理b0，a0，
3、则方程为：x0，所以E表示直线，所以D正确2抛物线x22py(p0)的焦点F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p()A3 B4 C6 D8【解析】选C.如图，在正三角形ABF中，DFp，BDp，所以B点坐标为，又点B在双曲线上，故1，解得p6.3如果P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|等于()An10 Bn20C2n10 D2n20【解析】选A.由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1，0)，准线为x1，由抛物线的定义可知|P1F|x11，|P2F|x21，|
4、PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.4设点A(4，5)，抛物线x28y的焦点为F，P为抛物线上与直线AF不共线的一点，则PAF周长的最小值为()A18 B13C12 D7【解析】选C.因为抛物线x28y，故焦点F，准线方程为：y2，过点P作PP1垂直于准线交准线于点P1，过点A作AA1垂直于准线交准线于点A1，根据抛物线的定义可知，因为A，所以5，57，CPAF5712.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5(2020沈阳高二检测)已知抛物线y22px上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10
5、和6，则p的值可取()A1 B2 C9 D18【解析】选BD.设M(x0，y0)，所以有y2px0，由点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有x010，6，所以有可得p220p360，故p2或p18.6(2020三亚高二检测)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点F重合，则()A双曲线的实轴长为2B双曲线的离心率为3C双曲线的渐近线方程为yxDF到渐近线的距离为【解析】选CD.抛物线y212x的焦点F，故4b232，b25，故双曲线方程为1，双曲线的实轴长为2a4，A错误；双曲线的离心率为e，B错误；双曲线的渐近线方程为yx，C正确；F到渐近线的距离为d，D正确三、填空题(每小题
6、5分，共10分)7以椭圆1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_【解析】因为椭圆的方程为1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则4，即p8，所以抛物线的标准方程为y216x.答案：y216x8(2020平罗高二检测)抛物线y22px上一点M的横坐标为3，且2p，则抛物线的方程为_【解析】抛物线的准线方程为：x，所以32p，解得p2，所以抛物线的方程为：y24x.答案：y24x四、解答题(每小题10分，共20分)9已知抛物线y22x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点的坐标【解析】将x3代入抛物线方程y22x，得
7、y.因为2，所以A在抛物线内部设抛物线上动点P到准线l：x的距离为d，由抛物线的定义，知|PA|PF|PA|d.当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点的纵坐标为2，代入y22x，得x2，所以P点的坐标为(2，2).10如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2y21相切(1)求抛物线C的方程(2)若点A，B都在抛物线C上，且2，求点A的坐标【解析】(1)依题意，可设抛物线C的方程为x22py(p0)，其准线l的方程为y.因为准线l与圆x2y21相切，所以圆心(0，0)到准线l的距离d01，解得p2.故抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得F(0，1)，所以(x2，y21)，(x1，y1)，因为2，所以(x2，y21)2(x1，y1)(2x1，2y1)，即代入得4x8y14，即x2y11，又x4y1，所以4y12y11，解得y1，x1，即点A的坐标为或.