1、山西省吕梁市孝义三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x1|2，B=x|log2x2，则AB=( )A（1，3）B（0，4）C（0，3）D（1，4）考点：交集及其运算 专题：不等式的解法及应用分析：先化简集合，即解绝对值不等式|x1|2，和对数不等式log2x2，再求交集解答：解：根据题意：集合A=x|x1|2=x|1x3，集合B=x|log2x2=x|0x4AB=（0，3）故选C点评：本题通过集合运算来考查不等式的解法属于基础题2已知等比数列an满足a1+a
2、2=3，a2+a3=6，则a7=( )A64B81C128D243考点：等比数列 分析：由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解解答：解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，q=2，a1（1+q）=3，a1=1，a7=26=64故选A点评：本题主要考查了等比数列的通项及整体运算3下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是( )Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间
3、（0，+）上单调递增，可得结论解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，故选：C点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础4记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=( )A2B3C6D7考点：等差数列；等差数列的性质 专题：计算题分析：利用等差数列的求和公式分别表示出S2和S4求得d解答：解：由2a1+d=4且4a1+6d=20；解得d=3故选B点评：本题主要考查了等差数列的前n项的和属基础题5已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则( )A
4、abcBacbCbacDcab考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用换底公式可得a=log23.6=log43.62，然后根据对数函数y=log4x在（0，+）的单调性可进行比较即可解答：解：a=log23.6=log43.62y=log4x在（0，+）单调递增，又3.623.63.2log43.62log43.6log43.2即acb故选：B点评：本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小，考查了换底公式的应用，是基础题6若点（a，b）在y=lgx图象上，a1，则下列点也在此图象上的是( )A（）B（10a，1b）C（，b+1）D（a2，2b）考点：对数函数的图像与性质 专
5、题：计算题分析：由已知中点（a，b）在y=lgx图象上，a1，我们易得b=lgx，根据对数的运算性质我们逐一将四个答案中的x代入，计算出对应的y值，即可得到答案解答：解：点（a，b）在y=lgx图象上，a1，b=lga，则lg=b，故A不正确；lg（10a）=1+b，故B不正确；lg=1b，故C不正确；lg（a2）=2b，故D正确；故选D点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，其中根据对数的运算性质我们逐一将四个答案中的x代入，计算出对应的y值，是解答本题的关键7直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于( )A2B1C1D2考点：利用导数研究曲线上
6、某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解，即可得出结论解答：解：解：由题意得，y=3x2+a，k=3+a 切点为A（1，3），3=k+1 3=1+a+b 由解得，a=1，b=3，2a+b=1，故选C点评：本题考查直线与曲线相切，考查学生的计算能力，属于基础题8定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上递增，则满足的x的取值范围是( )A（0，+）BCD考点：对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得偶函数f（x）在0，+）上递增，在（，0上递减，且f（）=f（）=0故由
7、不等式可得 ，或 分别求得的解集，再取并集，即得所求解答：解：由题意可得偶函数f（x）在0，+）上递增，在（，0上递减，且f（）=f（）=0故由 可得 ，或 由可得 ，lgxlg，解得 0x由可得 ，lgxlg=lg2，解得x2综上可得，不等式的解集为x|0x，或 x2，故选C点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，解对数不等式，属于中档题9公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于( )A18B24C60D90考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 专题：计算题分析：由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及
8、前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10解答：解：a4是a3与a7的等比中项，a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，又，整理得2a1+7d=8，由联立，解得d=2，a1=3，故选：C点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单10函数f（x）=cosx，（x）的图象大致是( )ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项解答：解：x时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx（0，1，函数f（x）=cosx，（x）是偶函数，cosx（0，1时，f（x）0
9、四个选项，只有C满足题意故选：C点评：本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答11若a0，b0，且函数f（x）=4x3ax22bx在x=1处有极值，则ab的最大值等于( )A2B3C6D9考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的概念及应用分析：选求导，令导数为0，得a+b=6，用基本不等式求解解答：解：f（x）=12x22ax2b，函数f（x）=4x3ax22bx在x=1处有极值，f（1）=122a2b=0即a+b=6，则ab=9（当且仅当a=b=3时，等号成立）故选：D点评：本题考查了利用导数求极值的方法，同时考查了基本不等式求最值12
10、对实数a与b，定义新运算“”：ab=设函数f（x）=（x22）（x1），xR若函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A（1，1（2，+）B（2，1（1，2C（，2）（1，2D2，1考点：函数与方程的综合运用 专题：函数的性质及应用分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x22）（x1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围解答：解：，函数f（x）=（x22）（x1）=，由图可知，当c（2，1（1，2函数f（x） 与y=c的图象有两个公共点，c的取值
11、范围是 （2，1（1，2，故选B点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想属于基础题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置上）13函数f（x）=的定义域为（0，考点：对数函数的定义域 专题：函数的性质及应用分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果解答：解：函数f（x）=要满足120，且x0，x0，x0，x0，0，故答案为：（0，点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0
12、次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题14设函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，则f（1）=2考点：导数的运算；函数的值 专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f（1）解答：解：函数f（x）在（0，+）内可导，且f（ex）=x+ex，令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，f（x）=+1，故f（1）=1+1=2故答案为：2点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型15下面是关于公差d0的等差数列（an）
13、的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an+3nd是递增数列；其中的真命题为p1，p4考点：命题的真假判断与应用 专题：推理和证明分析：对于p1，与p4的正确性要证明，对于p2与p3举个反例即可解答：解：d0，d=an+1an0，an+1an，数列an是递增数列，p1是真命题p2是假命题，如an=n9是公差d=10的等差数列，但nan不是递增数列同理可证p3也是假命题对于p4是真命题，an+1+3（n+1）d=4d，数列an+3nd是递增数列故答案应为：p1，p4点评：本题借助数列考查命题的判断，属于基础题16古希腊毕达哥拉斯学派的数
14、学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为记第n个k边形数为N（n，k）（k3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2n，可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=1000考点：归纳推理 专题：计算题分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案解答：解：原已知式子可化为：，由归纳推理可得，故=1100100=1000故答案为：1000点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题三、解答题：（本大题共5小题
15、，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通项公式及前n项和Sn；（）已知bn是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（）可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；（）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案解答：解：（）由题意可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，故可得an=13n1=3n1，由求和公式可得Sn=；（）由题意可知b
16、1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列bn的公差为d，可得b3b1=10=2d，解得d=5故T20=203+=1010点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题18设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f（x），若函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，且f（1）=0（）求实数a，b的值（）求函数f（x）的极值考点：利用导数研究函数的极值；二次函数的性质 专题：计算题分析：（）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f（1）=0即可求出b（）对f（x）求导，分别令f（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而
17、确定极值解答：解：（）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f（x）=6x2+2ax+b从而f（x）=6y=f（x）关于直线x=对称，从而由条件可知=，解得a=3又由于f（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=12（）由（）知f（x）=2x3+3x212x+1f（x）=6x2+6x12=6（x1）（x+2）令f（x）=0，得x=1或x=2当x（，2）时，f（x）0，f（x）在（，2）上是增函数；当x（2，1）时，f（x）0，f（x）在（2，1）上是减函数；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）上是增函数从而f（x）在x=2处取到极大值f（2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=
18、6点评：本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力19我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15x40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15x40）试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题分析：（1）
19、因为甲家每张球台每小时5元，故收费为f（x）与x成正比例即得：f（x）=5x，再利用分段函数的表达式的求法即可求得g（x）的表达式（2）欲想知道小张选择哪家比较合算，关键是看那一家收费低，故只要比较f（x） 与g（x）的函数的大小即可最后选择费用低的一家即可解答：解：（1）f（x）=5x，（15x40）（2）由f（x）=g（x）得或即x=18或x=10（舍）当15x18时，f（x）g（x）=5x900，f（x）g（x）即选甲家当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家当18x30时，f（x）g（x）=5x900，f（x）g（x）即选乙家当30x40时，f（x）g（x）=5x（2x+3
20、0）=3x300，f（x）g（x）即选乙家综上所述：当15x18时，选甲家；当x=18时，选甲家也可以选乙家；当18x40时，选乙家点评：解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型分段函数解题策略：分段函数模型的构造中，自变量取值的分界是关键点，只有合理的分类，正确的求解才能成功地解题但分类时要做到不重不漏20已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，nN*，数列bn满足an=4log2bn+3，nN*（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和T
21、n考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n2时，由an=snsn1可求通项，进而可求bn（）由（）知，利用错位相减可求数列的和解答：解：（）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n2时，an=snsn1=2n2+n2（n1）2（n1）=4n1而n=1，a1=41=3适合上式，故an=4n1，又an=4log2bn+3=4n1（）由（）知，2Tn=32+722+（4n5）2n1+（4n1）2n=（4n1）2n=（4n1）2n3+4（2n2）=（4n5）2n+5点评：本题主要考查了数列的
22、递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用21已知函数f（x）=x2alnx（I）求f（x）的单调区间；（）如果a0，讨论函数y=f（x）在区间（1，e）上零点的个数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用分析：（）求出函数f（x）的导数，讨论a0，a0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；（）求出函数的导函数f（x），然后利用导数研究函数g（x）在区间（1，e）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数f（x）在区间（1，e）上的零点情况解答：解：（）函数f（x）=x2alnx
23、的导数f（x）=2x=（x0），若a0，则f（x）0，即有f（x）在（0，+）上递增；若a0，由f（x）0得到x，由f（x）0得到0x，即有a0时，f（x）的增区间为（，+），减区间为（0，）；（）由（）知f（x）的极小值为f（）=（1ln），也为最小值当（1ln）0，即0a2e，f（x）的最小值大于0，则y=f（x）在区间（1，e）上无零点；当（1ln）=0，即a=2e，即有1e，而f（1）=10，f（）=0，f（e）0，则f（x）在（1，e）上有一个零点；当（1ln）0，即a2e，即有1，若e1而f（1）=10，f（）0，f（e）0，则f（x）在（1，e）上有两个零点；若1，且e，则f（x
24、）在（1，e）上有无零点综上，综上所述：当0a2e或a2e2时，函数f（x）无零点；a=2e时，函数f（x）有一个零点；当2ea2e2时，函数f（x）有两个零点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查函数的零点个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用四、选做题请在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分【选修4-1：几何证明选讲4】22选修41：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点（）证明：ACE=BCD；（）若BE=9，CD=1，求BC的长考点：圆的切线的性质定
25、理的证明；相似三角形的判定 专题：证明题分析：（I）由同圆中等圆弧的性质可得ABC=BCD由弦切角定理可得ACE=ABC，即可得出证明（II）利用弦切角定理可得CDB=BCE，由相似三角形的判定定理可得BECCBD，由相似三角形的性质可得，即可求出BC解答：（）证明：，ABC=BCD 又EC为圆的切线，ACE=ABC，ACE=BCD（）EC为圆的切线，CDB=BCE，由（）可得BCD=ABCBECCBD，BC2=CDEB=19=9，解得BC=3点评：熟练掌握同圆中等圆弧的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键【选修4-4：坐标系与参数方程】23选修44：坐标系与参数方程在直角
26、坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（为参数），P是C2上的点，线段OP的中点在C1上（）求C1和C2的公共弦长；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P的一个极坐标考点：参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置 专题：计算题分析：（）先将曲线C1、C2化成一般方程，是两个圆的方程，得到两圆的公共弦所在直线为y=x，其中一个圆的圆（2，0）到该直线距离为，利用直角三角形求出公共弦长（）将曲线C1、C2的直角坐标方程化成极坐标方程，设M（，），则P（2，），两点分别代入C1和C2解得极径和极角，从而得出点P的一个极坐标解答：解：（）曲线C1的一般方
27、程为x2+（y2）2=4，曲线C2的一般方程为（x2）2+y2=4两圆的公共弦所在直线为y=x，（2，0）到该直线距离为，所以公共弦长为（）曲线C1的极坐标方程为=4sin，曲线C2的极坐标方程为=4cos设M（，），则P（2，），两点分别代入C1和C2解得，不妨取锐角，所以点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，以及两圆位置关系的判断方法，求两圆的公共弦长等，属于基础题【选修4-5：不等式选讲】24已知f（x）=|2x1|+ax5（a是常数，aR）当a=1时求不等式f（x）0的解集如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围考点：函数零点
28、的判定定理；带绝对值的函数 专题：计算题分析：当a=1时，f（x）=，把和 的解集取并集，即得所求由f（x）=0得|2x1|=ax+5，作出y=|2x1|和y=ax+5 的图象，观察可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围解答：解：当a=1时，f（x）=|2x1|+x5=由解得x2； 由 解得x4f（x）0的解为x|x2或x4由f（x）=0得|2x1|=ax+5作出y=|2x1|和y=ax+5 的图象，观察可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点故a的取值范围是（2，2）点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题
