1、考点规范练25平面向量的概念及线性运算基础巩固1.(2021广西师大附中月考)在平行四边形ABCD中,AB+CA+BD等于()A.BAB.DAC.DCD.BC2.(2021福建福州模拟)如图,则a-b=()A.2e1-3e2B.-2e1+3e2C.3e1-2e2D.-3e1+2e23.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为()A.-12B.0C.12D.14.设平面向量a,b不共线,若AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C
2、.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线5.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b6.已知O是ABC的重心,且OA+2OB+BC=0,则实数=()A.3B.2C.1D.127.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对8.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则ABM与ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.459.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO
3、=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为.10.(2021北京通州一模)设向量e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-e2,AC=e1+3e2,BD=2e1-ke2,且B,C,D三点共线,则BC=(用e1,e2表示),实数k=.11.如图,有5个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则x+y的值是.12.在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若AB=AM+DB(,R),则=.能力提升13.已知在ABC中,D是AB边上的一点,CD=CA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为()A.23a+13bB.13a+23bC.13a+13
4、bD.23a+23b14.在ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合.若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-1,0)D.(0,1)15.已知ABC是边长为4的正三角形,D,P是ABC内的两点,且满足AD=14(AB+AC),AP=AD+18BC,则APD的面积为()A.34B.32C.3D.2316.在ABC中,点P满足BP=2PC,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若AM=mAB,AN=nAC(m0,n0),则m+2n的最小值为()A.3B.4C.83D.10317.如图,OMAB,点P在由射线OM,线段OB及A
5、B的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP=xOA+yOB,则x的取值范围是;当x=-12时,y的取值范围是.高考预测18.(2021江西赣州二模)在ABC中,点D满足BC=3BD,点E为线段AD的中点,则向量CE=()A.13AB+16ACB.16AB+13ACC.16AB-23ACD.13AB-56AC答案：1.A解析画出图形,如图所示.AB+CA+BD=(AB+BD)+CA=AD+CA=CA+AD=CD=BA.2.A解析由题图知a=3e1+e2,b=e1+4e2,则a-b=2e1-3e2.3.C解析如图,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC=-12AB+AC-13(BA
6、+AC)=-16AB+23AC.EF=mAB+nAC,m=-16,n=23,m+n=12.故选C.4.A解析AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),AD=AB+BC+CD=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2AB,AD与AB共线,即A,B,D三点共线,故选A.5.D解析连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CDAB,且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.6.C解析OA+2OB+BC=OA+2OB+(OC-OB)=OA+(2-)OB+OC=0,O是ABC的重心,OA+OB+OC=0.(2-)OB+OC=OB+OC.又O
7、为ABC的重心,2-=1,=1,解得=1.7.C解析AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,ADBC.又AB与CD不平行,四边形ABCD是梯形.8.C解析设AB的中点为D.由5AM=AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD.如图,故C,M,D三点共线,且MD=35CD,也就是ABM与ABC对于边AB上的两高之比为35,则ABM与ABC的面积比为35,选C.9.90解析由AO=12(AB+AC)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC=90,故AB与AC的夹角为90.10.-e1+4e28解析由向量减法法则得BC=AC-AB=-e1+4e2
8、.由于B,C,D三点共线,所以BD=BC(R),即2e1-ke2=(-e1+4e2),所以2=-,-k=4,解得=-2,k=8.11.1解析由平面向量的运算可知BD=AD-AB.AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF.又AE,AF不共线,且BD=xAE+yAF,即xAE+yAF=3AE-2AF,x=3,y=-2,x+y=1.12.29解析DB=AB-AD=AB-BC=AB-2BM=3AB-2AM,AB=AM+3AB-2AM,(1-3)AB=(-2)AM.AB和AM是不共线向量,1-3=0,-2=0,解得=13,=23,=29.1
9、3.A解析由题意得,CD=2CA+CB,2+=1,得=23,所以CD=23CB+13CA=23a+13b,故选A.14.A解析设BO=BC(1),则AO=AB+BO=AB+BC=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=(1-)AB+AC.所以=1-x1,得x0,n0,所以m+2n=(m+2n)13m+23n=13+43+23nm+mn53+232nmmn=53+43=3,当且仅当nm=mn,13m+23n=1,即m=n=1时等号成立.所以m+2n的最小值为3.故选A.17.(-,0)12,32解析由向量加法的平行四边形法则可知,OP为平行四边形的对角线,且该平行四边形是以OA的反向延长线和OB为两邻边,所以x的取值范围是(-,0).当x=-12,即OC=12AO时,过点C作CEOB,交OM于点D,交AB于点E,要使点P落在指定区域内,则点P应落在DE上.由AOAC=OBCE=23,得CE=32OB.又OB=DE,所以CD=12OB,由向量加法的三角形法则可得OP=OC+CP=-12OA+yOB,所以y的取值范围是12,32.18.D解析点E为线段AD的中点,CE=12(CA+CD).又点D满足BC=3BD,CD=23CB=23(AB-AC),CE=12CA+23(AB-AC)=13AB-56AC.7