1、十二椭圆及其标准方程(15分钟30分)1(2020宁波高二检测)已知椭圆1上一点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为()A2 B5 C6 D7【解析】选D.设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，则|PF1|PF2|2a，由椭圆方程知a5，所以点P到另一个焦点的距离为1037.【补偿训练】(2020吴起高二检测)已知点P是椭圆1上一点，F是椭圆的一个焦点，PF的中点为Q，O为坐标原点，若|OQ|1，则|PF|()A3 B4 C5 D6【解析】选D.设左焦点为F，右焦点为E，因为PF的中点为Q，EF的中点为O，所以|PE|2|OQ|2，又|PE|PF|2a8，所以|PF|6.2已知椭圆过
2、点P和点Q，则此椭圆的标准方程是()A.x21 By21或x21Cy21 D以上都不对【解析】选A.设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0)，由题意得解得所以此椭圆的标准方程为x21.3椭圆5x2ky25的一个焦点是(0，2)，那么k()A1 B1 C D【解析】选B.由5x2ky25得，x21.因为焦点为(0，2)，所以a2，b21，所以c2a2b214，所以k1.4(2020济南高二检测)若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为_【解析】由题可知，方程1表示焦点在y轴上的椭圆，可得1mm0，解得0mb0)，令xc，则y，由|AB|3，得3，又a2b2c21，联立得a24，b23
3、.所以椭圆的方程为1.3设椭圆y21的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|()A B C D【解析】选D.由椭圆方程易求点P的一个坐标为，左焦点为F(，0)，所以|PF|.4(2020常德高二检测)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若|PF1|6，则PF1F2的余弦值为()A B C D【解析】选A.因为椭圆方程为1，|PF1|6，所以|PF1|PF2|2a16，所以|PF2|10，而|F1F2|210，故cos PF1F2.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B
4、(3，0)，点P为一动点，且|PA|PB|2a(a0)，下列说法中正确的是()A当a2时，点P的轨迹不存在B当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C当a4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D当a3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆【解析】选AC.当a2时，2a4|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|6，B错误，C正确；当a3时，点P的轨迹为线段AB，D错误6(2020沈阳高二检测)椭圆1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为()A B C D【解析】选BD.记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|PF2|2a10，则知m|PF1|PF2|25，当且仅
5、当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(4，0)或(4，0).三、填空题(每小题5分，共10分)7在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆1上，则_.【解析】由题意知，A，C为椭圆的两焦点，则|AC|8，|AB|BC|10.所以.答案：8已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_【解析】椭圆方程化为1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|，|PA|PF|PA|PF1|6，又|AF1|PA|PF1|AF1|(当
6、P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|PF|6，|PA|PF|6.答案：66四、解答题(每小题10分，共20分)9(2020遂宁高二检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆y21有相同的焦点，且经过点.(2)经过A，B两点【解析】(1)椭圆y21的焦点坐标为(1，0)，因为椭圆过点，所以2a4，所以a2，b，所以椭圆的标准方程为1.(2)设所求的椭圆方程为1(m0，n0，mn).把A，B两点代入，得，解得m8，n1，所以椭圆的标准方程为y21.10设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程【解析】设
7、点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|，所以xPx，且yPy.因为P在圆x2y225上，所以x225，整理得1，即点M的轨迹C的方程是1.【创新迁移】1已知点P(6，8)是椭圆1(ab0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1PF20.试求(1)椭圆的方程(2)sin PF1F2的值【解析】(1)因为PF1PF20，所以(c6)(c6)640，所以c10，所以F1(10，0)，F2(10，0)，所以2a|PF1|PF2|12，所以a6，b280.所以椭圆方程为1.(2)如图所示，过点P作PMx轴，垂足为M，则|PM|8
8、，|F1M|10616，所以|PF1|8，所以sin PF1F2.2(2020靖远高二检测)已知ABC的周长为48且点A，B的坐标分别是，动点C的轨迹为曲线Q.(1)求曲线Q的方程；(2)直线l过点P，交曲线Q于M，N两点，且P为MN的中点，求直线l的方程【解析】(1)因为ABC的周长为48，点A，B，所以|AB|4，|BC|AC|8.因为84，所以点C到两个定点的距离之和等于定值，所以点C的轨迹是椭圆，设它的方程为1.所以a4，c2，b24，所以椭圆的方程是1.(2)设M，N，因为两点在椭圆上，所以，两式相减可得0，因为x1x22，y1y22，代入可得，所以直线l的方程是y1，即x4y50.