1、一、选择题1在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1D DA1A解析：选B.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(，1)，(，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)，显然00，即CEBD.2.(2012高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.
2、解析：选A.不妨令CB1，则CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0，与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.3已知正方体ABCDA1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是()A. B.C. D.解析：选C.建立空间直角坐标系如图所示设正方体的棱长为1，直线BC1与平面A1BD所成的角为，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0
3、,1)设n(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则，令z1，则x1，y1.n(1,1,1)，sin |cosn，|.4.(2013晋城调研)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：选B.分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a)(，0，a)又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)0，.是平面BB1C1C的一个法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C
4、.二、填空题5已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_解析：cosm，n，m，n，两平面所成二面角的大小为或.答案：或6.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为_解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(，1)，设平面ABC1D1的法向量n(x，y，z)，由，得，令x1，得n(1,0,1)又(，0)，O到平面ABC1D1的距离d.答案：三、解答题7(2
5、013宜昌模拟)已知四棱锥PABCD的直观图(如图)及侧视图(如图)，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB平面ABCD，PAPB.(1)求证：ADPB；(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值；(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小解：(1)证明：取AB的中点O，连接PO，则POAB，ADPB.(2)过O作AD的平行线为x轴，OB，OP所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，1,0)，D(2，1,0)，B(0,1,0)，C(2,1,0)由已知侧视图知PO2，故P(0,0,2)(2，1，2)，(0,2,0)cos，即异面直线PD与AB所成角的余弦值为.(3)平面PA
6、B的一个法向量n(1,0,0)设平面PCD的一个法向量m(x，y，z)，则即xz.取m(，0，)，cosn，m，即所求锐二面角的大小为.8.如图所示，点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解：如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,
7、1,0)因为cos，所以，60.可得DP与平面AADD所成的角为30.9(2013山西省适应性训练)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，PAAB，M，N分别是线段PB，AC上的动点，且不与端点重合，PMAN.(1)求证：MN平面PAD；(2)当MN的长最小时，求二面角AMNB的余弦值解：(1)证明：过M作BA的平行线交PA于点E，过N作BA的平行线交AD于F点，连接EF，设PMANa.因为MENF，MENFa，所以四边形MEFN为平行四边形，所以MNEF.又因为EF平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.(2)由(1)知MNEF，在RtEAF中
8、，设AFx，则可求得EA1x.所以MN2EF2AF2EA2x2(1x)2，当且仅当x时取等号，此时MN的长最小，且M，N分别为PB，AC的中点如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，M(，0，)，N(，0)，B(1,0,0)，所以(，0，)，(，0)，(，0，)，(，0)设平面AMN的法向量为m(x，y，z)，则，即，令x1，可取m(1，1，1)设平面BMN的法向量为n(x1，y1，z1)，则，即，令x11，则可取n(1,1,1)所以cosm，n，故二面角AMNB的余弦值为.1(2012高考湖南卷)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面AB
9、CD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积解：法一：(1)证明：如图，连接AC.由AB4，BC3，ABC90得AC5.又AD5，E是CD的中点，所以CDAE，因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)过点B作BGCD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF.由(1)CD平面PAE知，BG平面PAE.于是BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BGAE.由PA平面ABCD知，
10、PBA为直线PB与平面ABCD所成的角由题意PBABPF，因为sinPBA，sinBPF，所以PABF.由DABABC90知，ADBC.又BGCD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GDBC3.于是AG2.在RtBAG中，AB4，AG2，BGAF，所以BG2，BF.于是PABF.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.法二：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0，5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知
11、(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)又(4,0，h)，故，解得h.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.2.(2012高考福建卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是
12、否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长解：(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0，1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n
13、，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos .二面角AB1EA1的大小为30，|cos |cos 30，即，解得a2，即AB的长为2.3如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明
14、：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离证明：(1)如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)，由题意得，G(0,4,0)，因(8,0,0)，(0，4,3)，因此平面BOE的法向量为n(0,3,4)，(4,4，3)，n0.又直线FG不在平面BOE内，因此有FG平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)因为FM平面BO
15、E，所以有n，因此有x04，y0，即点M的坐标为.在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离分别为4，.4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E.(1)易得，(0,2，4)，于是cos，所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明：已知(1,2,1)，.又0，0，因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u(x，y，z)，则，即，不妨令x1，可得u(1,21)由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量于是cosu，从而sin u，.所以二面角A1EDF的正弦值为.