1、数 学 选修2-2 人教A版新课标导学第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数1.1.3 导数的几何意义1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案我国著名数学家华罗庚教授对数与形做过这样的描述：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休我们已经知道导数的物理意义为某一时刻的瞬时速度，那么函数图象在某点附近的变化情况又如何呢？它具有怎样的几何意义？切线1曲线的切线：过曲线 yf(x)上一点 P 作曲线的割线 PQ，当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时，若割线 PQ 趋近于某一确定的直线 PT，则这一确定的直线 PT 称为曲线 yf(x)在点 P 的_
2、.2导数的几何意义函数 yf(x)在 xx0 处的导数，就是曲线 yf(x)在 xx0 处的_，即 kf(x0)_.切线的斜率limx0fx0 xfx0 x瞬时速度3导数的物理意义：物体的运动方程 ss(t)在点 t0 处的导数 s(t0)，就是物体在 t0 时刻的_.4函数的导数对于函数 yf(x)，当 xx0 时，f(x0)是一个确定的数当 x 变化时，f(x)便是一个关于 x 的函数，我们称它为函数 yf(x)的导函数(简称为导数)，即 f(x)y _.limx0fxxfxx1曲线yx2在点P(1,1)处的切线方程为()Ay2x By2x1Cy2x1Dy2xB解析 yxxx2x2x2xx
3、，limx0yx2x，y|x12，切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.B2yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a()A18 B14 C12 D1解析 yxaxx21ax21xax22axxxa(x)2ax，limx0yx2ax，即 y2ax，设切点为(x0，y0)，则 2ax01，x0 12a.切点在直线 yx 上，y0 12a.代入 yax21 得 12a 14a1，a14，故选 B3若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则()Af(x0)0Cf(x0)0Df(x0)不存在解析 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0)处的导数等于曲线在该点处的切线的
4、斜率，所以f(x0)3.故选BBB4已知曲线 y12x23 上一点 P(1，52)，则过点 P 的切线的斜率为()A 33B1 C1 D 33解析 y12x23，ylimx012xx2312x23xlimx012x2xxxlimx0(x12x)x.y|x11，在点 P(1，52)的切线的斜率为 1.互动探究学案命题方向1 求切线方程典例 1已知曲线 C：y13x343.(1)求曲线 C 上的横坐标为 2 的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？思路分析 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在 xx0 处的导数表达式，
5、再把 x 的值代入求导数值解析(1)将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4，切点 P(2,4)y|x2limx0yxlimx0132x343132343xlimx042x13(x)24.ky|x24.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.(2)由y4x4，y13x343，可得(x2)2(x4)0，解得 x12，x24.从而求得公共点为 P(2,4)或 M(4，20)即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点规律总结 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方
6、程为yy0f(x0)(xx0)；2过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(3)利用点Q在曲线上和f(x0)kPQ，解出x0，y0及f(x0)(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy0f(x0)(xx0)3要正确区分曲线yf(x)在点P处的切线，与过点P的曲线yf(x)的切线求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解4f(x0)0时，切线的倾斜角为锐角；f(x0)0时，切线的倾斜角为钝角；f(x0)0时，切线与x轴平行f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或
7、不存在跟踪练习 1设函数 f(x)存在导函数，且满足limx0f1f12x2x1，则曲线 yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1C1 D2B解析 limx0f1f12x2xlimx0f12xf12xf(1)1.命题方向2 求切点的坐标(1，1)典例 2(1)曲线 f(x)1x2在点 P 处的切线方程为 2xy30，则点 P 的坐标为_.(2)曲线 f(x)2x2x 在点 P 处的切线与直线 xy10 垂直，则点 P 的坐标为_.(12，0)思路分析 解此类题的步骤为：设切点坐标(x0，y0)；求导函数 f(x)；求切线的斜率 f(x0)；由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，
8、解方程求 x0；由于点(x0，y0)在曲线 yf(x)上，将 x0 代入求 y0，得切点坐标解析(1)设切点 P 为(x0，y0)，则kf(x0)limx0fx0 xfx0 xlimx01x0 x21x20 xlimx0 x0 x2x20 x20 x0 x2xlimx02x0 xx20 x0 x22x30.切线方程为 2xy30，切线斜率为2.2x302.x01.f(x0)f(1)1.切点 P 为(1，1)(2)设切点 P 为(x0，y0)，则 kf(x0)limx02x0 x2x0 x2x20 x0 xlimx04x0 x 2x2xxlimx0(4x02x1)4x01.在 P 处的切线与 x
9、y10 垂直，4x011.x012.f(x0)f(12)2(12)2120.切点 P 为(12，0)规律总结 切点问题的处理方法(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等跟踪练习2已知抛物线f(x)2x21在某点处的切线的倾斜角为45，求该切点的坐标解析 设切点坐标为(x0，y0)，则 y2(x0 x)212x2014x0 x2(x)2，所以yx4x02x，f(x0)4x0.因为抛物线的切线的倾斜角为 45，所以斜率为 tan451.即 f(x0
10、)4x01，得 x014，所以切点的坐标为(14，98)若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短，求点P的坐标思路分析 抛物线上到直线y4x5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点解答本题可先求导函数，再求P点的坐标命题方向3 最值问题典例 3解析 由点 P 到直线 y4x5 的距离最短知，过点 P 的切线方程与直线 y4x5 平行设 P(x0，y0)，则ylimx0yxlimx04xx24x2xlimx08xx4x2xlimx0(8x4x)8x，由8x04，y04x20，得x012，y01.故所求的点为 P12，1.规律总结 求最值问题的基本思路：(1)目标函数法：通过设变
11、量构造目标函数，利用函数求最值(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值.跟踪练习 3曲线 yx2 上的点到直线 xy30 的距离的最小值为_.11 28解析 解法一：设曲线 yx2 上任一点 P(x0，y0)，则 y0 x20，P 到直线 xy30 的距离d|x0y03|2|x0 x203|2 22(x012)2114，当 x012时，dmin11 28.解法二：设与 xy30 平行的直线方程为 xym0，由yx2xym0 消去 y 得：x2xm0，14m0，m14，所求最小距离 d|314|2 11 28.解法三：设与直线 xy30 平行的直线与曲线 yx2 切于点 P
12、(x0，y0)，则由ylimx0yxlimx0 x0 x2x20 xlimx0(2x0 x)2x0，由2x01y0 x20得，x012y014，P(12，14)，点 P 到直线 xy30 的距离d|12143|211 28.导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数yf(x)在xx0处的导数，即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相关问题导数几何意义的综合应用典例 4已知直线 l1 为曲线 yx2x2 在点(1,0)处的切线，l2 为该曲线的另一条切线，且 l1l2.(1)求直线 l1，l
13、2 的方程；(2)求由直线 l1，l2 和 x 轴所围成的三角形的面积解析(1)f(1)limx0yxlimx0f1xf1x limx01x21x2112xlimx0(x3)3，所以直线 l1 的方程为 y3x3.设直线 l2 与曲线 yx2x2 相切于点 B(b，b2b2)，则可求得切线 l2 的斜率为 2b1.因为 l1l2，则有 2b113，b23.所以直线 l2 的方程为 y13x229.(2)解方程组y3x3，y13x229，得x16，y52.所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为(16，52)l1，l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)，(223，0)所以所求三角形的面积 S1
14、2253|52|12512.规律总结 1.导数的几何意义是指：曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数yf(x)在xx0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值2运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率3若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解B跟踪练习 4(1)已知曲线 y12x22 上一点 P(1，32)，则过点 P 的切线的倾斜角为()A30 B45C135 D165(2)已知直线 xy1
15、0 与抛物线 yax2 相切，则 a 的值为_.14解析(1)y12x22，ylimx012xx2212x22xlimx012x2xxxlimx0(x12x)x.y|x11.过点 P(1，32)的切线的斜率为 1，则切线的斜率角为 45.(2)设切点为 P(x0，y0)，则 f(x0)limx0fx0 xfx0 xlimx0ax0 x2ax20 xlimx0(2ax0ax)2ax0，即 2ax01.又 y0ax20，x0y010，联立以上三式，得2ax01，y0ax20，x0y010，解得 a14.求切线方程时忽视点是否在曲线上致误 典例 5 求经过点(2,0)，且与曲线 y1x相切的直线方程
16、错因分析 将(2,0)误认为是切点，直接由导数的几何意义得切线斜率 f(2)limx012x12xlimx0122x14，从而得切线方程为 y014(x2)正解 经验证点(2,0)不在曲线 y1x的图象上，则设切点为 P(x0，y0)由 y|xx0limx01x0 x1x0 xlimx0 xxx0 xx0limx01x0 x0 x1x20，得所求直线方程为 yy01x20(xx0)因为点(2,0)在切线上，所以 x20y02x0.又点 P(x0，y0)在曲线 y1x上，所以 x0y01，联立可解得 x01，y01，故所求直线方程为 xy20.点评 错解中没有注意到点(2,0)根本不在曲线 y1
17、x上，直接求出函数在 x2处的导数作为曲线切线的斜率，而导致错误避免这种错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果点在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率才等于函数在该点处的导数值，否则，如果点不在曲线上，应先另设切点，再利用导数的几何意义求解C1(2019深圳高二检测)曲线 yf(x)x1x在点(2，2)处的切线的斜率 k 为()A13 B23 C1 D53解析 klimx0f2xf2xlimx02x12x2xlimx011x1.2(2019阜阳高二检测)函数 yf(x)的图象在点 P(5，f(5)处的切线方程是 yx8，则 f(5)f(5)()A12B1 C2 D0C解析 yf(x)的图象在点
18、 P(5，f(5)处的切线方程为 yx8，可得 yf(x)在点 P(5，f(5)处的切点纵坐标和切线斜率分别为 f(5)583，f(5)1，则 f(5)f(5)2.3(2019临沂高二检测)曲线yx33x21在点P处的切线平行于直线y9x1，则此切线的方程为()Ay9xBy9x26Cy9x26Dy9x6或y9x26D解析 yx(x)23x0 x3x3x206x0f(x0)3x206x03x206x09.解 x03 或 x01，点 P(3,1)或(1，3)切线斜率为 9.y9x26 或 y9x6.选 D4(2019威海高二检测)已知曲线f(x)x21与g(x)x31在xx0处的切线互相垂直，求x0的值解析 因为 f(x)limx0 xx21x21xlimx0(2xx)2x，g(x)limx0 xx31x31xlimx0(x)23xx3x23x2，所以 k12x0，k23x20，由 k1k21，即 6x301，解得 x03 366.课时作业学案