1、2019年12月月考数学试题考试范围：选修2-1，2-2（第一章）一、选择1.在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】由可得出角为钝角，然后再利用充分条件、必要条件定义得出两条件之间的关系.【详解】，则为钝角，“”“是钝角三角形”，另一方面，“是钝角三角形”“是钝角”.因此，“”是“为钝角三角形”的充分非必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，要结合充分条件与必要条件的定义来判断，考查推理能力，属于中等题.2.命题“对，都有”的否定为（ ）A. 对，都有B. ，使得C. ，使
2、得D. ，使得【答案】C【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对，都有”的否定为：，使得故选C【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题3.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的逆命题是真命题B. 命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题C. 命题“，”的否定为“，”D. 若，则【答案】C【解析】分析】举例说明错误；由复合命题的真假判断；写出特称命题的否定判断；由向量的数量积的定义判断【详解】解：对于，命题“若，则”的逆命题是“若，则”，是假命题，如时，故错误；对于，命
3、题“或”为真命题，则命题和命题中至少一个为真命题，故错误；对于，命题“存在”的否定为：“对，”，故正确；对于，若，则，当时即可得在方向上的投影相等，无法得到，当时，（为任意向量），同样无法得到，故错误故选：【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题4.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，的周长为，由于是定值，要使的周长最小，则最小，即
4、、共线，直线的方程为，即代入整理得，解得或（舍），所以点的纵坐标为，.故选C.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定点的坐标是关键5.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设点，则点，由点在双曲线上得出，然后利用斜率公式得出，由此可计算出双曲线的离心率.【详解】设点.则，则，又，即，由有，因此，双曲线的离心率为.故选A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也考查双曲线方程的应用，解题的关键在将点横坐标与纵坐标通过点的坐标满足双曲线方程建立等式求解，
5、考查运算求解能力，属于中等题.6.设，是椭圆：的左右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设直线与轴交于点，由已知得，由此能求出椭圆的离心率【详解】解：如图，设直线与轴交于点，由已知得，轴，为直线上一点，椭圆的离心率为故选【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和数形结合思想的合理运用7.如图所示，在平行六面体中，设，是的中点，试用，表示（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性表示，用，表示出即可【详解】解：是的中点，.故选：A.【点睛】本题考查了空
6、间向量的线性表示与应用问题，是基础题目8.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB2，AC3，BD4，CD，则该二面角的大小为（ ）A. 45B. 60C. 120D. 150【答案】B【解析】【分析】根据二面角定义即求,利用向量的模以及数量积定义可得结果.【详解】由已知可得，322242234cos17，cos，即120，二面角的大小为60，故选:B【点睛】本题考查利用向量求二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.9.长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合，中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【
7、分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解【详解】由题意，因为正方体的底面为班车为1的正方形，高为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，与相等的向量为，此时，与相等的向量为，此时，与相等的向量为，此时，与相等的向量为，此时，与相等的向量为，此时，体对角线向量为，此时，此时，此时，此时，综上集合，集合中元素的个数为3个故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题10.已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）A.
8、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意函数对都有, 可以分离出函数中的参数,转化为 ,只需即可,所以转化为导数的极值来解题.【详解】解：函数,对都有,当时,即,即为可化令,则当时,单调递减.因此所以故实数的取值范围是故选B【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围.11.函数的大致图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数过点排除，求导根据函数的单调性排除得到答案.【详解】取，得到，即函数过点，排除；,且当时，函数单调递减；当时，函数单调递减，排除.故选【点
9、睛】本题考查了函数的图形的识别，意在考查学生对于函数性质和图像的灵活运用.12.已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，并比较与、与的大小关系，可得出正确选项.【详解】构造函数，则，则，所以，函数在上为增函数.则，即，所以，；，即，所以，故选C.【点睛】本题考查利用函数单调性比较函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13.设，若是的充分条件，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由是的充分条件得，列不等式求出实
10、数的取值范围.【详解】解：由是的充分条件得，解得：，故答案为【点睛】本题考查充分条件的判断，转化为集合之间的包含关系问题，是基础题.14.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BADBAA1120，DAA160，则线段AC1的长度是_【答案】【解析】【分析】利用，即可求解【详解】，故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平15.已知点在抛物线上，则P点到抛物线焦点F的距离为_.【答案】3【解析】【分析】利用焦点弦长的性质即可得出【详解】点在抛物线上，点到焦点的距离故答案为：3【点睛】本题考查过焦点弦长的性质，属于基础题16.已知关于的不等式有解，则整
11、数的最小值为_【答案】【解析】【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出整数的最小值.【详解】构造函数，则，对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增.，.由零点存在定理知，存在，使得.当时，；当时，.所以，函数在处取得最小值，即，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，所以，当时，使得，因此，整数的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键就是利用极值点所满足的等式来进行代换计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题三、解答题17.设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点， （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程
12、【答案】(1) y=x1,(2)或【解析】【详解】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x1）（k0）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得 ，故所以由题设知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程为y=x1（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或点
13、睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值18.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且，.(1)若点为上一点且，证明：平面.(2)求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐
14、标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）作交于，连接 又且 且四边形为平行四边形 平面，平面 平面（2）平面，平面 又， 则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，设平面法向量则，令，则， 设平面的法向量则，令，则， 二面角为锐二面角 二面角的大小为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.19.如图，已知三棱锥，平面平面，（1）证明：；（2）设点为中点，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】(1)由题
15、可利用余弦定理计算,再利用勾股定理证明,进而得到平面,进而证明(2)由(1)可知面,故可以为坐标原点建立空间直角坐标系,求出对应的向量与面的法向量即可求得与平面所成角的正弦值.【详解】(1) ,由余弦定理得,故.又,故.又平面平面,且平面平面,故平面.又平面,故.证毕.(2)由(1)有平面,故以为坐标原点,垂直为轴,为轴正向,为轴正向建如图空间直角坐标系.则,.故,设平面的法向量则,令有 ,故,设与平面所成角为,则故答案为：【点睛】本题主要考查线面垂直的一般证明方法,包括线线垂直与勾股定理等基本方法.一般求解先与面的夹角的正弦值,均先求直线的向量与平面法向量,再根据直线与法向量的夹角的余弦值等
16、于直线与平面夹角的正弦值求得即可.20.已知函数与函数在处有公共的切线.（1）求实数a，b的值；（2）记，求的极值.【答案】（1），（2）极大值为；无极小值【解析】【分析】（1）分别对，求导，然后根据题意可得，即可求解a，b的值；（2）根据（1）可知函数的解析式，然后求导，列出，的变化情况表，根据函数单调性即可求解.【详解】（1），由题意得，解得，.（2），的变化情况如下表：x0+0-极大值由表可知，的极大值为，无极小值.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及函数的极值，注意认真计算，规范书写，属基础题.21.已知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆
17、于两点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，求证：直线恒过定点【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，由离心率公式可得，再由的关系可得，即可得到所求的椭圆方程；（2）先求出直线的斜率不存在时直线的方程，直线过点；当直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合三点共线的条件，即可得到定点且定点为【详解】（1）由椭圆的焦点到短轴的端点的距离为，则，又离心率为，即，解得，椭圆的方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在，即方程，代入椭圆方程可得，即有，直线的方程为，直线过点.当直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，由，消去整理得由恒
18、成立，设，则，由，由可得，则，即综上可得直线过定点【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理以及直线的斜率公式求解，该题还考查了转化思想和运算能力、推理能力，属于难题22.已知函数.（1）当时，求f(x)的单调区间；（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数)【答案】（1）递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）将代入原函数,求函数的定义域,再对函数求导,最后根据单调递增,单调递减可求出的单调区间（2）从分离出出常数,设新函数,求出新函数的最小值即可得到的取值范围详解】(1),的定义域为 ,.所以的单调递增区间为,单调递减区间为(2) ,令,由当时,在,1上单调递减当时,在1,e上单调递增,所以g(x)在,e上的最大值为所以,所以实数的取值范围为【点睛】本题考查利用导数求函数性质的应用,根据已知条件构造辅助函数,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,属于难题.