1、考点规范练15导数与函数的单调性基础巩固1.函数y=f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是()A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增D.在区间(-3,-2)内,f(x)单调递增答案:C解析:由题图知,当x(4,5)时,f(x)0,所以在区间(4,5)内,f(x)单调递增.2.函数f(x)=12x2-ln x的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,1)(-,-1)C.(-,1)D.(-,+)答案:A解析:f(x)=12x2-lnx的定义域为(0,+),f(x)=x-1x,令f(x)0,即x
2、-1x0,解得0x1或x0,所以0x0,故y=ex+x在区间(-1,1)内是增函数;B中,y=sinx,y=cosx,在区间(-1,1)内y=cosx0,故y=sinx在区间(-1,1)内是增函数;C中,y=x3-6x2+9x+2,y=3x2-12x+9=3(x-2)2-3,在区间(-1,1)内y=3(x-2)2-30,故y=x3-6x2+9x+2在区间(-1,1)内是增函数;D中,y=x2+x+1,y=2x+1,在区间-12,1内y0,在区间-1,-12内y0,故y=x2+x+1在区间(-1,1)内不是增函数.4.若f(x)=lnxx,eab,则()A.f(a)f(b)D.f(a)f(b)1
3、答案:C解析:令f(x)=1-lnxx2e.f(x)在区间(e,+)内单调递减.eaf(b).5.(2020四川德阳模拟)若函数f(x)=ex(sin x+a)在R上为增函数,则实数a的取值范围为()A.2,+)B.(1,+)C.-1,+)D.(2,+)答案:A解析:因为f(x)=ex(sinx+a),所以f(x)=ex(sinx+a+cosx).因为f(x)在R上为增函数,所以f(x)0恒成立.即sinx+a+cosx0恒成立.所以a-sinx-cosx恒成立.因为-sinx-cosx=-2sinx+4,所以-2-sinx-cosx2,所以a2.6.若函数f(x)的导函数为f(x)=x2-4
4、x+3,则函数f(x+1)的单调递减区间是.答案:(0,2)解析:由f(x)=x2-4x+3,f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x,令f(x+1)0,解得0x0,即实数a的取值范围是(0,+).8.已知函数y=f(x)在定义域-32,3内可导,其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式xf(x)0的解集为.答案:-32,-130,12,3)解析:对于不等式xf(x)0,当-32x0时,f(x)0,则结合题中图象知,原不等式的解集为-32,-13;当x=0时,显然成立;当0x0).令x-9x0,解得x-3或00,00,且a+13,解得1a2.10.试求函数
5、f(x)=kx-ln x的单调区间.解：函数f(x)=kx-lnx的定义域为(0,+),f(x)=k-1x=kx-1x.当k0时,kx-10,f(x)0时,由f(x)0,即kx-1x0,解得0x0,即kx-1x0,解得x1k.当k0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+.综上所述,当k0时,f(x)的单调递减区间为(0,+);当k0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+.11.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若a0,求函数f(x)的单调区间.解：(1)a=1,f(x)
6、=x3+x2-x+2,f(x)=3x2+2x-1,f(1)=4.又f(1)=3,切点坐标为(1,3),所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.(2)f(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a),由f(x)=0得x=-a或x=a3.又a0,由f(x)0,得-ax0,得xa3,故f(x)的单调递减区间为-a,a3,单调递增区间为(-,-a)和a3,+.能力提升12.已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下面四个图象中为y=f(x)的大致图象的是()答案:C解析:当x-1时,xf(x)0,当x-1时,函数y=f(x)单调递增;当-1x
7、0,f(x)0,当-1x0时,函数y=f(x)单调递减;当0x1时,xf(x)0,f(x)0,当0x1时,xf(x)0,f(x)0,当x1时,函数y=f(x)单调递增.结合各选项,知C项正确.13.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)答案:D解析:当x0,令F(x)=f(x)g(x),则当x0时,F(x)仍单调递增.根据F(x)=f(x)g(x)的性质,可作出F(x)的示意图.f(x)g(x)2,f(1)=2,
8、则不等式f(x)e2-2x+1(其中e为自然对数的底数)的解集为.答案:(1,+)解析:f(x)e2-2x+1,即e2xf(x)-e2xe2,令g(x)=e2xf(x)-e2x,则g(x)=e2x2f(x)+f(x)-20,故g(x)在R上为增函数,而g(1)=e2f(1)-e2=e2,所以e2xf(x)-e2xe2,即g(x)g(1),所以x1.故所求不等式的解集是(1,+).15.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间1,+)内为减函数,求实数a的取值范围.解：(1)当a=-14时,f(x)=-14x2+ln(x
9、+1)(x-1),f(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x-1)2(x+1)(x-1).当f(x)0时,解得-1x1;当f(x)1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+).(2)因为函数f(x)在区间1,+)内为减函数,所以f(x)=2ax+1x+10对任意x1,+)恒成立,即a-12x(x+1)对任意x1,+)恒成立.令g(x)=-12x(x+1),则g(x)=4x+22x(x+1)2.因为在区间1,+)内g(x)0,所以g(x)在区间1,+)内单调递增,故g(x)在区间1,+)内的最小值g(x)min=g(1)=-14,故a-14.即实数a的取值范围为-
10、,-14.16.(2020广西南宁三中模拟)已知函数f(x)=kx-ln x.(1)若函数f(x)在区间(1,+)内单调递增,求k的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2e2.答案：(1)解f(x)=kx-lnx,函数f(x)在区间(1,+)内单调递增,f(x)=k-1x0在区间(1,+)内恒成立,k1x在区间(1,+)内恒成立,k1.(2)证明不妨设x1x20,f(x1)=f(x2)=0,kx1-lnx1=0,kx2-lnx2=0,可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1-lnx2=k(x1-x2),要证明x1x2e2,即证明lnx1+lnx22,
11、也就是证k(x1+x2)2,k=lnx1-lnx2x1-x2,需证明lnx1-lnx2x1-x22x1+x2,即lnx1x22x1x2-11+x1x2,令x1x2=t,则t1,于是lnt2(t-1)t+1.令g(t)=lnt-2(t-1)t+1,t1,则g(t)=(t-1)2t(t+1)20,故函数g(t)在区间(1,+)内是增函数,g(t)g(1)=0,即lnt2(t-1)t+1成立.原不等式成立.高考预测17.设函数f(x)=x2-1lnx.(1)求证:f(x)在区间(0,1)和(1,+)内都单调递增;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)x恒成立,求a的取值范围.答案：(1)
12、证明f(x)=2xlnx-x2-1x(lnx)2=x(lnx)22lnx-x2-1x2(x0,且x1).令g(x)=2lnx-x2-1x2,则g(x)=2(x+1)(x-1)x3.当0x1时,g(x)g(1)=0.于是f(x)=x(lnx)2g(x)0,故f(x)在区间(0,1)内单调递增.当x1时,g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(1)=0,于是f(x)=x(lnx)2g(x)0,故f(x)在区间(1,+)内单调递增.(2)解af(x)-x=a(x2-1)lnx-x=xlnxa(x2-1)x-lnx.令h(x)=a(x2-1)x-lnx(x0),则h(x)=ax2-x+ax2.令(x
13、)=ax2-x+a,当a0,且(x)=0的判别式=1-4a20,即a12时,此时(x)=ax2-x+a0在区间(0,1),(1,+)内恒成立,所以当a12时,在函数f(x)的定义域内,h(x)0,故h(x)在区间(0,1),(1,+)内单调递增,若0x1,h(x)0;若x1,h(x)h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)0,所以当x0,且x1时都有af(x)x成立,当0a12时,由h(x)0,解得1-1-4a22ax1+1-4a22a,所以h(x)在区间1,1+1-4a22a内单调递减,h(x)h(1)=0.故af(x)-x=xlnxh(x)0,不符合题意.当a0时,x(0,1)(1,+),都有h(x)h(1)=0,所以af(x)-x=xlnxh(x)1时,af(x)-x=xlnxh(x)0,不符合题意.综上所述,a的取值范围是a12.