1、章末复习提升课第三章 空间向量与立体几何栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何1空间向量运算的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何(2)重要结论ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30.2模、夹
2、角和距离公式(1)设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|aa a21a22a23；cosa，b ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23.(2)设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|AB|(a2a1)2(b2b1)2(c2c1)2.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何3空间向量的运算与线面位置关系的判定设直线 l 的方向向量是 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量 v(a2，b2，c2)，则 luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k
3、(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何弄清立体几何中的“空间角”与向量“夹角”的联系与区别(1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去 90为所求的线面角(3)利用平
4、面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何 空间向量的运算 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F、G 分别在边 CB，CD 上，且CF 23CB，CG 23CD.求证：四边形 EFGH 为梯形栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何【证明】因为EH AH AE，AH 12AD，AE 12AB，所以EH 12BD.因为FG CG CF，又因为
5、CG 23CD，CF 23CB，所以FG 23(CD CB)23BD.由，得EH 34FG，所以EH FG，且|EH|FG|.又因为点 F 不在直线 EH 上，所以 EHFG 且|EH|FG|，所以四边形 EFGH 为梯形栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何 空间向量与空间位置关系 如图所示，已知 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，PAAD，M，N 分别为 AB，PC 的中点，求证：(1)MN平面 PAD；(2)平面 PMC平面 PDC.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何【证明】如图所示，以 A
6、为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.设 PAADa，ABb.则有，栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何(1)P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)因为 M，N 分别为 AB，PC 的中点，所以 Mb2，0，0，Nb2，a2，a2.所以MN 0，a2，a2，AP(0，0，a)，AD(0，a，0)，所以MN 12AD 12AP.又因为 MN平面 PAD，所以 MN平面 PAD.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量
7、与立体几何(2)由(1)可知：P(0，0，a)，C(b，a，0)，Mb2，0，0，D(0，a，0)所以PC(b，a，a)，PM b2，0，a，PD(0，a，a)设平面 PMC 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1PC0n1PM 0bx1ay1az10，b2x1az10，所以x12ab z1，y1z1，令 z1b，则 n1(2a，b，b)栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何设平面 PDC 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，则 n2PC0n2PD 0bx2ay2az20，ay2az20，所以x20，y2z2.令 z21，则 n2(0
8、，1，1)因为 n1n20bb0，所以 n1n2.所以平面 PMC平面 PDC.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何 空间向量与空间角 已知正方形ABCD所在的平面和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB 2，AF1.试在线段 AC 上确定一点 P，使得 PF与 CD 所成的角为 60.【解】如图所示建立空间直角坐标系 Cxyz，则 F(2，2，1)，CD(2，0，0)设 P(t，t，0)(0t 2)，则PF(2t，2t，1)栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何因为 PF 与 CD 所成的角是 60，所以
9、cos 60|2(2t)|2(2t)2(2t)21，解得 t 22 或 t3 22(舍去)所以当 P 为 AC 中点时，满足题设条件栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何 利用空间向量求距离(选学)如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 1，PD平面ABCD，且 PD1，E，F 分别为 AB，BC 的中点求：(1)点 D 到平面 PEF 的距离；(2)直线 AC 到平面 PEF 的距离栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何【解】如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在的直线分别为 x，y，z
10、轴建立空间直角坐标系 Dxyz.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何(1)D(0，0，0)，P(0，0，1)，E1，12，0，F12，1，0，则 DP(0，0，1)，PE1，12，1，PF12，1，1.设 n(x，y，z)为平面 PEF 的法向量，则有 nPE0nPF0 x12yz0，12xyz0，所以xy，z32y，令 y2，则 n(2，2，3)所以 d|nDP|n|3173 1717.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何(2)A(1，0，0)，AP(1，0，1)，由(1)知平面 PEF 的法向量 n
11、(2，2，3)，则 A 到平面 PEF 的距离为|APn|n|117 1717.因为 AC平面 PEF，所以直线 AC 到平面 PEF 的距离为 1717.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何1.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，如图所示，E 为上底面 A1C1 的中心，若AE AA1 xAB yAD，则 x，y 的值分别为()Axy1 Bx1，y12Cxy12Dx12，y1栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何解析：选 C由向量的三角形运算法则知 AE AA1 A1E.而A1E 12A1C1，A1
12、C1 AB BC，又AC A1C1，AD BC，所以A1C1 AB AD，所以AE AA1 12AB 12AD，所以 xy12.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何2.如图，在平行六面体 ABCD-ABCD中，AB1，AD2，AA3，BAD90，BAADAA60，则 AC的长为()A 13B 23C 33D 43栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何解析：选 B因为AC AB BC CC，所以AC 2(AB BC CC)2 AB 2BC 2CC 22(AB BC AB CC BC CC)1222322(0
13、13cos 6023cos 60)1429223，所以|AC|23，即 AC的长为 23.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何3.如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形，且 AF12ADa，G 是 EF 的中点，则GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为_栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何解析：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)，AG(a，a，0)，AC(0，2a，2a
14、)栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何设平面 AGC 的法向量为 n(x，y，z)，由nAG 0，nAC 0，得axay0，2ay2az0，取 z1，则 x1，y1，所以 n(1，1，1)又GB(a，a，0)，设 GB 与平面 AGC 所成角为，则 sin|cosGB，n|GB n|GB|n|a1(a)(1)2a 3 63.答案：63栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何4.如图，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1，BCA90，ACBC2，A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D，又知 BA1
15、AC1.(1)求证：AC1平面 A1BC；(2)求 CC1 到平面 A1AB 的距离；(3)求二面角 A-A1BC 的余弦值栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何解：(1)证明：如图，取 AB 的中点 E，则 DEBC，因为 BCAC，所以 DEAC.又 A1D平面 ABC，则如图以 DE，DC，DA1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何则 A(0，1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，A1(0，0，t)，C1(0，2，t)，AC1(0，3，
16、t)，BA1(2，1，t)，CB(2，0，0)，由AC1 CB 0，知 AC1CB.又 BA1AC1，CBBA1B，从而 AC1平面 A1BC.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何(2)由AC1 BA1 3t20，结合图得 t 3.设平面 A1AB 的法向量为 n(x，y，z)，又AA1(0，1，3)，AB(2，2，0)，则nAA1 y 3z0，nAB 2x2y0，取 z1，则 n(3，3，1)因为 CC1平面 A1AB，则 CC1 到平面 A1AB 的距离为 C1 到平面A1AB 的距离，因为AC1(0，3，3)，所以 CC1 到平面 A1AB 的距离 d|AC1 n|n|2 217.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何(3)设平面 A1BC 的法向量为 m(x，y，z)，又CA1(0，1，3)，CB(2，0，0)，所以mCA1 y 3z0，mCB 2x0，取 z1，则 m(0，3，1)，设二面角 A-A1BC 的平面角为，则 cos mn|m|n|22 7 77.所以二面角 A-A1BC 的余弦值为 77.栏目导引知识要点易错提醒专题突破链接高考知识网络体系构建第三章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放