1、五空间向量运算的坐标表示(15分钟30分)1已知a，b，则a与b()A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向【解析】选A.因为a，b，所以ab5665100，所以ab.2已知向量a，b，若2，则k的值等于()A1 B C D【解析】选D.由已知得，2，且ab0，由2得k|a|2k|b|2ab2，即2k8k2，解得k.3若向量a，b， 且a，b 夹角的余弦值为，则x等于()A2 B2C2或 D2或【解析】选C.cos a，b，解得x2或x.4已知a(2，4，x)，b(2，y，2)，若|a|6，ab，则xy的值是_【解析】因为a(2，4，x)，b(2，y，2)，|a|6，ab，所以解得或
2、因此xy1或3.答案：3或15如图，BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30.(1)求向量的坐标(2)求与的夹角的余弦值【解析】(1)过D作DEBC于E，则DECDsin 30，OEOBBD cos 601，所以D点坐标为，又因为C(0，1，0)，所以.(2)依题设，A点坐标为，所以，(0，2，0)，则与的夹角的余弦值为cos ，.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则是ab的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选A.设，则有ab(b0)
3、，所以ab，即正推成立；若b0，恒有ab但，均无意义，逆推不成立2若四棱锥PABCD中底面ABCD是平行四边形，(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)，则PA与底面ABCD的关系是()A相交 B垂直C平行 D成60角【解析】选B.2240，4400，即APAB，APAD，且ABADA，则PA平面ABCD.3已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cos a，b()A B C D【解析】选C.由已知，得a(1，)，b(1，0，)，所以cos a，b.4已知四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体则下列结论不正确的是()AB0C向量与向量的夹角是120D正方体ABCDA1B1C1D1的体积为【
4、解析】选D.不妨设正方体的棱长为1，以， 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).因为(0，0，1)(1，0，0)(0，1，0)(1，1，1)，所以()2| |23；33| |23123.故A正确，不符合题意因为(1，1，1)，(0，1，1)，所以0110.故B正确，不符合题意因为(1，0，1)，(0，1，1)，所以0011，|，|，所以cos ，所以向量与向量的夹角是120，故C正确，不符合题意因为ABAA1，所以0，所以|0|0，故D错误
5、，符合题意二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知点P是ABC所在的平面外一点，若(2，1，4)，(1，2，1)，(4，2，0)，则()AAPAB BAP BPCBC DAP BC【解析】选AC.因为0，故A正确；(3，3，3)，36360，故B不正确；(6，1，4)，故C正确；(1，2，1)，(6，1，4)，各个对应分量的比值不同，故D不正确6已知向量a(1，2，3)，b(3，0，1)，c(1，5，3)，下列等式中正确的是()A(ab)cbcB(ab)ca(bc)C(abc)2a2b2c2D|abc|abc|【解析】选BCD.A.左边为向量
6、，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边(4，2，2)(1，5，3)0，右边(1，2，3)(2，5，4)210120，所以左边右边，因此正确Cabc(3，7，1)，左边3272(1)259，右边122232320(1)2(1)252(3)259，所以左边右边，因此正确D由C可得：左边，因为abc(1，3，7)，所以|abc|，所以左边右边，因此正确综上可得BCD正确三、填空题(每小题5分，共10分)7已知a，b，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_【解题指南】利用空间向量的夹角为钝角求参数的取值范围，一般转化为两向量数量积为负，且两向量不共线，结合空间向量的坐标运算得出不等式组求解【解析
7、】由题意可知ab0且a与b不共线，则ab32312x42.若a与b共线，则，得x，因为a与b不共线，则x，因此实数x的取值范围是.答案：8在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos EAF_，EF_【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为1，则E，F，所以，所以cos ，所以cos EAF，EF|.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9已知向量a，b，c(3，m，n).(1)求ab；(2)若ac，求m，n；(3)求cos a，b【解析】(1)因为a，b，所以ab.(2)因为a，c，若ac，则，解得m
8、6，n6.(3)因为a，b，所以ab14248，3，6，cos a，b.10在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点(1)求证：EFCF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G，所以，.(1)因为00，所以，即EFCF.(2)因为10，所以cos ，.(3)|.【创新迁移】1已知，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为(O为坐标原点)()A BC D【解析】选B.设Q(x，y，z)，则(x，y，z)，因为点Q在直线OP上运动，所以，所以
9、，即yx，z2x，所以(x，x，2x)，所以()()(1x，2x，32x)(2x，1x，22x)(1x)(2x)(2x)(1x)(32x)(22x)6x216x10，所以当x时，取得最小值，此时点Q的坐标为.2已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5).(1)若，且a分别与，垂直，求向量a的坐标；(2)若，且2，求点P的坐标【解析】(1)(2，1，3)，(1，3，2).设a(x，y，z)，因为|a|，且a分别与，垂直，所以解得或所以a(1，1，1)或a(1，1，1).(2)因为，所以可设.因为(3，2，1)，所以(3，2，).又因为2，所以2，解得2.所以(6，4，2)或(6，4，2).设点P的坐标为(x，y，z)，则(x，y2，z3).所以或解得或故所求点P的坐标为(6，2，1)或(6，6，5).
