1、二空间向量的数量积 (15分钟30分)1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A等于90 B小于90C大于90 D不确定【解析】选A.因为（+）000，所以两向量垂直，即PMN90.2已知正四面体DABC的各棱长为1，点E是AB的中点，则的值为()A B C D【解析】选A.如图所示，正四面体ABCD的棱长是1，E是AB的中点，所以()11cos 6011cos 60.【补偿训练】已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则的值为()Aa2 Ba2Ca2 Da2【解析】选
2、C.因为正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，所以|a，|a，a，|a，所以cos ，|cos ，aaa2.3已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于()A B C D4【解析】选C.因为|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 60913，所以|a3b|.4已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则ab与ab之间的关系是()A垂直 B共线C不垂直 D以上都可能【解析】选A.由题意知|a|b|，因为(ab)(ab)|a|2|b|20，所以(ab)(ab).5设a，b120，|a|3，|b|4，求：(1)ab；(2)(3a2b)(a2
3、b).【解析】(1)因为ab|a|b|cos a，b，所以ab34cos 1206.(2)因为(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2，所以(3a2b)(a2b)3943441627246461. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A30 B45 C60 D90【解析】选C.因为，所以()201201，又|2，|1.所以cos ，.因为异面直线所成的角是锐角或直角，所以a与b所成的角是60.2设A，B，C，D是空间中不共面的
4、四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定【解析】选B.()()220，同理，可证0，0.所以BCD的每个内角均为锐角，故BCD是锐角三角形3已知空间向量a，b，c两两夹角为60，其模都为1，则|ab2c|等于()A B5 C6 D【解析】选A.因为|ab2c|2|a|2|b|24|c|22ab4ac4bc1212412211cos 60411cos 60411cos 605，所以|ab2c|.4已知非零向量a，b，c，若p，那么|p|的取值范围是()A0，1 B1，2C0，3 D1，3【解析】选C.p2323239，所以0|p|3.二、多选题(每小
5、题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()A()23()2B()0C向量与向量的夹角是60D正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|【解析】选AB.由向量的加法得到：，因为A1C23A1B，所以()23()2，所以A正确；因为，AB1A1C，所以A1CAB10，故B正确；因为ACD1是等边三角形，所以AD1C60，又A1BD1C，所以异面直线AD1与A1B所成的夹角为60，但是向量与向量的夹角是120，故C不正确；因为ABAA1，所以0，故|0，因此D不正确6下列命题中错误的是()A(ab)2a2b2B|
6、ab|a|b|C(ab)ca(bc)D若a(bc)，则abac0【解析】选ACD.对于A项，左边|a|2|b|2cos2a，b，右边|a|2|b|2，所以左边右边，A错误(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，但c与a不一定共线，C错在D中，a(bc)0，所以abac0，所以abac，但ab与ac不一定等于零，故D错误对于B，因为ab|a|b|cosa，b，1cos a，b1，所以|ab|a|b|，故B正确三、填空题(每小题5分，共10分)7已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cos a，b_【解析】将|ab|化为(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cos a，b
7、，求得cos a，b.答案：8已知向量a，b满足：|a|2，|b|，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_【解析】因为a与2ba垂直，所以a(2ba)0，即2ab|a|20.所以2|a|b|cos a，b|a|20，所以4cos a，b40，所以cos a，b，又0a，b180，所以a与b的夹角为45.答案：45四、解答题(每小题10分，共20分)9在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求向量与所成角的余弦值【解析】因为，所以|cos ，|cos ，84cos 13586cos 1202416，所以cos ，.10如图，在正三棱柱AB
8、CA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长【解析】(1)，.因为BB1平面ABC，所以0，0.又ABC为正三角形，所以，.因为()()|cos ，110，所以AB1BC1.(2)结合(1)知|cos ，1.又|，所以cos ，所以|2，即侧棱长为2.1如图，在三棱锥DABC中，已知AB2，3，设ADa，BCb，CDc，则的最小值为_.【解析】因为在三棱锥DABC中，AB2，3，设a，b，c，所以ac，bc，所以(ac)(bc)abacbcc23，所以c2abacbc3，又aabc，所以|(ab)c|2，所以，将两边平方得(ab)2c22(ab)c4，所以(ab)2c242(ab)c，所以2(ab)c，代入中，得，所以c2ab1ab1(a2b22ab)1(a2b2)，所以c22a2b2，又c2c2，a2a2，b2b2，所以2，当且仅当ab时取等号，所以的最小值为2.答案：22平行四边形ABCD中，AB2AC2且ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离【解析】由已知得ACCD，ACAB，折叠后AB与CD所成角为60，于是，0，0，且，60或120.|2()2222222221222222cos ，故|213或5，解得|或，即B，D间的距离为或.