1、单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2021全国)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.(2021山西名校联考三模)已知ABC的重心为O,则向量BO=()A.23AB+13ACB.13AB+23ACC.-23AB+13ACD.-13AB+23AC3.已知向量a,b的夹角为2,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=()A.23B.3C.21D.414.(2021山东济宁模拟)已知AC=(-1,3),AB=(3,1),若线段BC的一个
2、三等分点为M,则AM的坐标为()A.13,73或53,53B.53,53C.13,73D.73,13或103,735.已知复数z=a+a+i3-i(aR,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-12,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)7.已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b8.(2021湖南衡阳八中高三月考)
3、已知复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0(p,qR)的一个根,则|pi+q|=()A.25B.5C.41D.419.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为4.若a-b与b垂直,则实数的值为()A.-12B.12C.-24D.2410.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,51211.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,AP=13AB,AQ=12AD,若CPCQ=12,则ADC=()A.56B.34C.23D.212.(2
4、021天津南开中学三模)如图,已知B,D是直角C两边上的动点,ADBD,|AD|=3,BAD=6,CM=12(CA+CB),CN=12(CD+CA),则CMCN的最大值为()A.4+132B.2+132C.4+134D.2+134二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.复数z=11+i(i为虚数单位),则|z|=.14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点.若F为该矩形内(含边界)任意一点,则AEAF的最大值为.15.(2021山东青岛模拟)18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如,|z|=|OZ|,也
5、即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点O的距离.在复平面内,复数z0=a+2i1+i(i是虚数单位,aR)是纯虚数,其对应的点为Z0,Z为曲线|z|=1上的动点,则Z0与Z之间的最小距离为.16.(2021天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DEAB且交AB于点E.DFAB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为;(DE+DF)DA的最小值为.答案：1.C解析设z=x+yi(x,yR),则z=x-yi,2(z+z)+3(z-z)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.2.C解析如图,设E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点.因为O是ABC的重
6、心,所以BO=23BE=23(AE-AB)=2312AC-AB=-23AB+13AC.3.C解析|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=|a|2+4ab+4|b|2=5+44=21,|a+2b|=21.4.A解析由线段BC的一个三等分点为M,得2CM=MB或CM=2MB.若2CM=MB,则2AM-2AC=AB-AM,故AM=13AB+23AC=13,73;若CM=2MB,则AM-AC=2AB-2AM,故AM=23AB+13AC=53,53.5.A解析由题意,得z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,z=13a-110-
7、(a+3)i10.又复数z的共轭复数的虚部为-12,-a+310=-12,解得a=2.z=52+12i,复数z在复平面内对应的点位于第一象限.6.C解析设点P坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.点P坐标为(3,0).7.D解析由题意可知,ab=|a|b|cos60=12.对于A,(a+2b)b=ab+2b2=520,不符合题意;对于B,(2a+b)b=2ab+b2=20,不符合题意;对于C,(a-2b)b=ab-2b2=-320,不符合题意;对于
8、D,(2a-b)b=2ab-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.8.C解析因为复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,所以(i-2)2+p(i-2)+q=0,所以pi+q=4i+2p-3,所以p=4,q=2p-3,解得p=4,q=5,则|pi+q|=|4i+5|=41.9.D解析因为a-b与b垂直,且ab=12cos4=2,所以(a-b)b=2-4=0,解得=24,故选D.10.D解析由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos,2+2sin),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D
9、.11.C解析因为CP=BP-BC=-23AB-AD,CQ=DQ-DC=-12AD-AB,所以CPCQ=-23AB-AD-12AD-AB=239+4332cosBAD+124=8+8cosBAD=12,所以cosBAD=12,BAD=3,ADC=23.12.C解析由题意,以点D为坐标原点,以DB方向为x轴的正方向,以DA方向为y轴的正方向,建立直角坐标系如图所示.因为|AD|=3,BAD=6,所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,3).又因为CM=12(CA+CB),CN=12(CD+CA),所以M,N分别为BA,DA的中点,因此M12,32,N0,32.因为DCB为直角,所以C
10、DBC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点.设C(x,y),则x-122+y2=14,即x2+y2=x.又CM=12-x,32-y,CN=-x,32-y,所以CMCN=-12x+x2+34-3y+y2=12x-3y+34.令m=12x-3y,即x-23y-2m=0,所以点C(x,y)为直线x-23y-2m=0与圆x-122+y2=14的一个交点,因此圆心12,0到直线x-23y-2m=0的距离小于等于半径12,即12-2m1+1212,解得1-134m1+134,所以CMCN的最大值为1+134+34=4+134.13.22解析|z|=1|1+i|=12=22.14.92解析以A为坐标原点,
11、AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,12.设F(x,y),则0x2,0y1,则AEAF=2x+12y,令z=2x+12y,当z=2x+12y过点(2,1)时,AEAF取最大值92.15.1解析由z0=a+2i1+i=(a+2i)(1-i)(1-i)(1+i)=a+2+(2-a)i2,因为复数z0=a+2i1+i(i是虚数单位,aR)是纯虚数,所以a+2=0,解得a=-2.所以z0=2i,则Z0(0,2).由于|z|=1,故设Z(x,y),又x2+y2=1,-1y1,所以|ZZ0|=x2+(y-2)2=x2+y2+4-4y=5-4y1,故Z0与Z之间的最小距离为1.16.11120解析设BE=x,x0,12.ABC为边长为1的等边三角形,DEAB,BDE=30,BD=2x,DE=3x,DC=1-2x.DFAB,DFC为边长为1-2x的等边三角形,DEDF,(2BE+DF)2=4BE2+4BEDF+DF2=4x2+4x(1-2x)cos0+(1-2x)2=1,|2BE+DF|=1.(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE+EA)=DE2+DFEA=(3x)2+(1-2x)(1-x)cos0=5x2-3x+1=5x-3102+1120,当x=310时,(DE+DF)DA有最小值,为1120.