1、单元质检十二概率(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若随机变量XB(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是()A.25B.35C.625D.19252.(2021广西柳州三模)每次从09这10个数字中随机取一个数字(取后放回),连续取n次,依次得到n个数字组成的数字序列.若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9,则n的最小值是()(参考数据:lg 90.954)A.23B.22C.21D.203.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为()A.2
2、144B.1522C.2150D.9254.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.一个用七巧板拼成的正方形如图所示,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.14B.18C.38D.3165.已知随机变量XN(0.4,12),YN(0.8,22),其正态分布曲线如图所示,则下列说法错误的是()A.P(X0.4)=P(Y0.8)B.P(X0)=P(Y0)C.X的取值比Y的取值更集中于平均值左右D.两支密度曲线与x轴之间的面积均为16.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体
3、的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.若10件产品包含2件次品,今在其中任取两件,则在已知两件中有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率为.8.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的均值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人
4、轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.10.(15分)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘制成折线图如下:女生统计图男生统计图(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数;(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选取的男生人数
5、为X,求随机变量X的分布列及均值E(X);(3)试比较男生学习时间的方差s12与女生学习时间的方差s22的大小.(只需写出结论)11.(15分)(2021福建龙岩三模)甲、乙两人进行对抗比赛,每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8 000元奖金并规定:若有人先赢4场,则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止;若无人先赢4场且比赛意外终止,则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为p(0p1),乙赢的概率为1-p,且每场比赛相互独立.(1)设每场比赛甲赢的概率为12,若比赛进行了5场,主办方决定颁发奖金,求甲获得奖金的分布列;(2)规定:若随机事
6、件发生的概率小于0.05,则称该随机事件为小概率事件,我们可以认为该事件不可能发生,否则认为该事件有可能发生.若本次比赛p45,且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场,请判断:比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生,并说明理由.答案：1.C解析XB(100,p),E(X)=100p.又E(X)=24,24=100p,即p=24100=625.2.B解析有放回地排列n个数字,得10n个基本事件,其中不含0的基本事件为9n.由题意得1-9n10n0.9,即0.9n0.1,nlg0.1lg0.9=-1lg9-121.74.故n最小取22.3.A解析(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时
7、击中目标”为事件A,则P(A)=0.60.7=0.42,P(B)=0.60.7+0.40.7+0.60.3=0.88,得P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=0.420.88=2144.(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C,则P(C)=1-P(A)P(B)=1-(1-0.6)(1-0.7)=0.88.故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.70.88=2144.故选A.4.B解析不妨设小正方形的边长为1,则最小的两个等腰直角三角形的边长为1,1,2,左上角的等腰直角三角形的边长为2,2,2,两个最大的等腰直角三角形
8、的边长为2,2,22,即大正方形的边长为22,故所求概率P=1-122+1+1+228=18.5.B解析由已知得1=0.4,2=0.8,1P(Y0).故B错误;分布列XN(0.4,12)的图象比YN(0.8,22)的图象更“高瘦”,故X的取值比Y的取值更集中于平均值左右,故C正确;显然,两支密度曲线与x轴之间的面积均为1,故D正确.故选B.6.B解析由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,p(1-p)=0.24,由P(X=4)P(X=6)知C104p4(1-p)6(1-p)2,p0.5,p=0.6(其中p=0.4舍去).7.411解析设事件A=两件中有一件不是次品,事件B
9、=两件中恰有一件是次品,则P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=C21C81C102C82+C21C81C102=411.8.54解析根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有C52A44=240(种),而X=1,2,则P(X=1)=C51C42A33240=180240=34,P(X=2)=C52A33240=60240=14,故E(X)=134+214=54.9.解(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙
10、上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.10.解(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为4001220=240.(2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为
11、4,故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.由题意可得P(X=0)=C44C84=170,P(X=1)=C41C43C84=1670=835,P(X=2)=C42C42C84=3670=1835,P(X=3)=C43C41C84=1670=835,P(X=4)=C44C84=170.所以随机变量X的分布列为X01234P1708351835835170均值E(X)=0170+1835+21835+3835+4170=2.(3)由折线图可得s12s22.11.解(1)因为进行了5场比赛,所以甲、乙之间的输赢情况有以下四种情况:甲赢4场,乙赢1场;甲赢3场,乙赢2场;甲赢2场,乙赢3场;甲赢1场,
12、乙赢4场.5场比赛不同的输赢情况有C43+C53+C52+C41种,即28种.若甲赢4场,乙赢1场,甲获得全部奖金8000元;若甲赢3场,乙赢2场,当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为12+1212=34,所以甲分得6000元奖金;若甲赢2场,乙赢3场,当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为1212=14,所以甲分得2000元奖金;甲赢1场,乙赢4场,甲没有获得奖金.设甲可能获得的奖金为X元,则甲获得奖金的所有可能取值为8000,6000,2000,0,P(X=8000)=C4328=17,P(X=6000)=C5328=514,P(X=2000)=C5228=514,P(X=0)=C4128=
13、17.甲获得奖金数X的分布列X8000600020000P1751451417(2)设比赛继续进行Y场乙赢得全部奖金,则最后一场必然乙赢.当Y=3时,乙以42赢,P(Y=3)=(1-p)3,当Y=4时,乙以43赢,P(Y=4)=C31p(1-p)3=3p(1-p)3,所以,乙赢得全部奖金的概率为P(A)=(1-p)3+3p(1-p)3=(1+3p)(1-p)3.设f(p)=(1+3p)(1-p)3.f(p)=3(1-p)3+(1+3p)3(1-p)2(-1)=-12p(1-p)2.因为45p1,所以f(p)0,所以f(p)在45,1上单调递减,于是f(p)max=f45=17625=0.02720.05.故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件.所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金.