1、单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)1.已知函数y=3sin 2x-cos 2x的图象向右平移0a=1,a+b+c2.故ABC的周长的取值范围是(2,3.5.已知f(x)=Asin(x+)A0,0,|0,解得=2.由对任意的x都有f(x)f6=2知,当x=6时,f(x)取得最大值,且最大值为2,又A0,所以3+=2k+2,kZ,且A=2,故=2k+6,kZ.又因为|2,所以=6.所以g(x)=2cos2x+6.因为x0,2,所以2x+66,76.由余弦函数的图象知g(x)max=2cos6=3,故选B.二、填空题(
2、本大题共2小题,每小题8分,共16分)6.(2020全国,文13)若sin x=-23,则cos 2x=.答案:19解析:sinx=-23,cos2x=1-2sin2x=1-249=19.7.已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上的一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案:152104解析:如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF为锐角,
3、sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=104.综上可得,BCD的面积是152,cosBDC=104.三、解答题(本大题共3小题,共44分)8.(14分)设函数f(x)=sin2x-6+2cos2x.(1)当x0,2时,求函数f(x)的值域;(2)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=32,2a=3b,c=1+3,求ABC的面积.解：(1)由已知得,f(x)=32sin2x+12cos2x+1=sin2x+6+1.x0,2,62x+676,12sin2x+6+12.函数f(x)的值域为12,2.(2)f(A)=sin2A+6+1=32,sin2A
4、+6=12.0A,62A+6136,2A+6=56,即A=3.2a=3b,2sinA=3sinB,sinB=22.0B23,B=4,sinC=sin(A+B)=6+24.又c=1+3,bsinB=csinC=42,b=2.SABC=12bcsinA=3+32.9.(15分)在ABC中,AC=BC=2,AB=23,AM=MC.(1)求BM的长;(2)设D是平面ABC内一动点,且满足BDM=23,求BD+12MD的取值范围.解：(1)在ABC中,AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC,代入数据得cosC=-12.AM=MC,CM=MA=12AC=1.在CBM中,由余弦定理知,BM2=CM2+C
5、B2-2CMCBcosC,代入数据得BM=7.(2)设DBM=,则DMB=3-,0,3.在BDM中,由正弦定理知BDsin3-=MDsin=BMsin23=2213.BD=2213sin3-,MD=2213sin,BD+12MD=2213sin3-+213sin=213(3cos-sin+sin)=7cos.又0,3,cos12,1,BD+12MD的取值范围为72,7.10.(15分)(2020江西南昌模拟)已知各项都不相等的等差数列an中,a4=103,又a1,a2,a6成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若函数y=a1sin4x+,0的一部分图象如图所示,A(-1,a1),B(3
6、,-a1)为图象上的两点,设AOB=,其中O为坐标原点,0,求cos(+)的值.解：(1)设等差数列an的公差为d(d0),则a4=a1+3d=103,a1,a2,a6成等比数列,a22=a1a6,即(a1+d)2=a1(a1+5d),由,解得a1=3,d=33.an=a1+(n-1)d=33n-23(nN*).(2)由(1)知,a1=3,A(-1,3),B(3,-3),把A(-1,3)代入函数y=3sin4x+中,得=34+2k,kZ.0,=34.A(-1,3),B(3,-3),AO=2,BO=23,AB=27.在AOB中,由余弦定理知,cosAOB=AO2+BO2-AB22AOBO,即cos=4+12-282223=-32.又0,=56.cos(+)=cos34+56=cos34cos56-sin34sin56=-22-32-2212=6-24.