1、第4节万有引力理论的成就必考要求：c1若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的引力，即mgG，可得地球质量M，该公式同样适用于其他天体。2根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径r和周期T，就可得太阳的质量为M。3英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶预言了海王星的存在，1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了被预言的海王星。41705年英国天文学家哈雷正确预言了哈雷彗星的回归。一、计算天体的质量 称量地球的质量计算太阳的质量方法重力加速度法环绕法理论依据忽略地球自转影响，重力等于万有引力万有引力提供向心力mgGGmr结果MM说明
2、(1)R为地球半径(2)g为地球表面的重力加速度(1)r为行星绕太阳做匀速圆周运动的半径(2)T为行星绕太阳做匀速圆周运动的周期(3)这两种方法同样适用于计算其他天体的质量(4)求出天体的质量后，还可以进一步计算其密度二、 发现未知天体应用万有引力定律可以计算天体的质量，还可以发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。1海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星。2其他天体的发现近100年来，人们在
3、海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。1自主思考判一判(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。()(2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。()(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。()(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。()(5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。()2合作探究议一议(1)天体实际做什么运动？在处理问题时我们可以认为天体做什么运动？提示：天体实际做椭圆轨道运动，而在处理相关问题时我们可以认为天体做匀速圆周运动。(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球
4、的质量呢？图641提示：能求出地球的质量。利用Gm2r求出的质量M为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。天体质量和密度的计算1天体质量的计算(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mgG，解得天体的质量为M，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明GmMr为行星(或卫星)的轨道半径
5、，v、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期Gmr2MGmrM2天体密度的计算若天体的半径为R，则天体的密度，将M代入上式可得。特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则。典例(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)()A已知地球绕太阳运动的周期T和地球中心离太阳中心的距离rB已知月球绕地球运动的周期T和地球的半径rC已知月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD已知月球绕地球运动的周期T和轨道半径r解析已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以选项A错误。已知月球绕地球运动的周期
6、和地球的半径，而不知道月球绕地球运动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项B错误。已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由Gmr2可以求出地球的质量，选项C正确。由Gmr可求得地球质量为M，所以选项D正确。答案CD求解天体质量和密度时的两种常见错误(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 1近年来，人类发射的火星
7、探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(k为某个常量)()AkTBCkT2 D解析：选D根据万有引力定律得GmR，可得火星质量M，又火星的体积VR3，故火星的平均密度，选项D正确。2(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是()A月球表面的重力加速度g月B月球的质量m月C月球的自转周期TD月球的平均密度解析：选AB根
8、据平抛运动规律，Lv0t，hg月t2，联立解得g月，选项A正确；由mg月G解得m月，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度，选项D错误。天体运动的分析与计算1基本思路一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立牛顿第二定律方程Gma，式中a是向心加速度。2常用关系(1)Gmmr2mr，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mgG，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2GM，该公式称为黄金代换。典例有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫做“矮行星”，而另外一些人把它们叫做“小
9、行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：(1)它们与太阳间的万有引力之比。(2)它们的公转周期之比。解析(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比。(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有Gm2r，所以，天体绕太阳运动的周期T2 ，则两天体绕太阳的公转周期之比。答案(1)(2)天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系 1(2015年10月浙江选考)2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射。在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三
10、层轨道被依次释放。假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()图642A20颗小卫星的轨道半径均相同B20颗小卫星的线速度大小均相同C同一圆轨道上的小卫星的周期均相同D不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同解析：选C小卫星在不同轨道上释放，因此轨道半径不同，A错误；由mR2mR知，B、D错误；C正确。2假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么()A地球公转的周期大于火星公转的周期B地球公转的线速度小于火星公转的线速度C地球公转的加速度小于火星公转的加速度D地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：选D根据Gm2rmmanm2r得，公转周期T
11、2，故地球公转的周期较小，选项A错误；公转线速度v，故地球公转的线速度较大，选项B错误；公转加速度an，故地球公转的加速度较大，选项C错误；公转角速度，故地球公转的角速度较大，选项D正确。3人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T。为使其周期变为8T，可采用的方法有()A保持轨道半径不变，使线速度减小为B逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为4rC逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为8rD保持线速度不变，将轨道半径增加到8r解析：选B利用万有引力提供卫星的向心力可以得到v ，T2 ，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无
12、关，使轨道半径逐渐增大为4r，能使其周期变为8T，速率同时减小为，B正确，A、C、D错误。宇宙双星问题典例宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和m2。(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比。(2)试写出它们角速度的表达式。解析双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即FG，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示。(1)分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程，对m1有Gm
13、12r1对m2有Gm22r2由得；由线速度与角速度的关系vr，得。(2)由得r1，由得r2，又Lr1r2，联立以上三式得 。答案(1)见解析(2)如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。双星具有以下特点：(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同。(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。由Fmr2和Lr1r2，可得r1L，r2L，则。 1远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图643所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O
14、点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1m232，下列说法中正确的是()图643Am1、m2做圆周运动的线速度之比为32Bm1、m2做圆周运动的角速度之比为32Cm1做圆周运动的半径为LDm2做圆周运动的半径为L解析：选C设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为，据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm1r12m2r22。又r1r2L，m1m232，所以可解得r1L，r2L。m1、m2运动的线速度分别为v1r1，v2r2，故v1v2r1r223。综上所述，选项C正确。2我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1
15、和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图644所示)。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S1的质量为()图644A. B.C. D.解析：选A双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有Gm2(rr1)，解得m1。A对。3两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。解析：设两星球质量分别为m1和m2，做圆周运动的半径分别为r1和Rr1，则由万有引力提供向心力得r1G(Rr1
16、)G由可得m1r1m2(Rr1)则由得，所以m1m2。答案：1(多选)下面说法中正确的是()A海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C天王星的运动轨道偏离是根据万有引力定律计算出来的，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的解析：选ACD人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现，天王星的运行轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，于是认为天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料，独立地利用万
17、有引力定律计算出这颗新行星的轨道，后来用类似的方法发现了冥王星。故A、C、D正确，B错误。2科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知()A这颗行星的公转周期与地球相等B这颗行星的自转周期与地球相等C这颗行星质量等于地球的质量D这颗行星的密度等于地球的密度解析：选A由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面。3设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满
18、足()AGMBGMCGM DGM解析：选A本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解。对行星有：mr，故GM，选项A正确。4地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是()A. B.C. D.解析：选A地球表面有Gmg，得M，又由，由得出。5过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为()A. B1C5 D10解析：选B行星绕中心恒星
19、做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Gm r，则32321，选项B正确。6若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为()A.R B.RC2R D.R解析：选C平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即xv0t，在竖直方向上做自由落体运动，即hgt2，所以xv0 ，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以，根据公式Gmg可得g，故，解得R行2R，故C正确。7(多选)设地球的半径为R，质量为m的卫星在距地面高为2R处做匀速圆周运动，地面的重力
20、加速度为g，则()A卫星的线速度为 B卫星的角速度为 C卫星做圆周运动所需的向心力为mgD卫星的周期为2 解析：选AC由Gmg和Gmm23Rm3R可求得卫星的线速度为v，角速度 ，周期T6 ，卫星做圆周运动所需的向心力等于万有引力，即FGmg，故选项A、C正确。8(多选)一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上。用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下面说法中正确的是()Ag0 BggCFN0 DFNmg解析：选BC做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出
21、其重力，故FN0，C正确，D错误；对地球表面的物体，mg，宇宙飞船所在处，mg，可得：gg，A错误，B正确。9(多选)如图1所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则()图1A甲星所受合外力为B乙星所受合外力为C甲星和丙星的线速度相同D甲星和丙星的角速度相同解析：选AD甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力：F甲，A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合外力为0，B错误；由甲、乙、丙位于同一直线上可知，甲星和丙星的角速度相同，由vR可知，甲星和丙星的线速度大小相同，但方
22、向相反，故C错误，D正确。10一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则下列关系式错误的是()A恒星的质量为B行星的质量为C行星运动的轨道半径为D行星运动的加速度为解析：选B因v，所以r，选项C正确；结合万有引力定律公式m，可解得恒星的质量M，选项A正确；因不知行星和恒星之间的万有引力的大小，所以行星的质量无法计算，选项B错误；行星的加速度av2，选项D正确。11质量分别为m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为l，不考虑其他星体的影响，两颗星球的轨道半径和周期各是多少？解析：设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2，由于它们间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，所以角速度和周期也都相同。对m1：Gm1R12对m2：Gm2R22由可得又由于R1R2l由得R1，R2，将其代入或式可得T2 。答案：212在某行星上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T。根据这些数据求该星球的质量和密度。解析：设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，由万有引力定律得FmgG。飞船沿星球表面做匀速圆周运动由牛顿第二定律得Gm。联立解得M。将M代入，得。答案：