1、第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.2 函数模型及其应用A级基础巩固1某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1x4，xN*)之间关系的是()Ay100 x By50x250x100Cy502x Dy100x解析：将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应答案：C2某学校开展研究性学习活动，一名同学获得了下面的一组试验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近
2、似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()Ay2x2 ByCylog2x Dy(x21)解析：代入点(2，1.5)，(5，12)检验知选D.答案：D3某商场的某款手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现在价格为2 560元的该款手机，两年后价格可降为()A1 440元 B900元C1 040元 D810元解析：两年后的价格为2 560810(元)答案：D4已知某工厂去年12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂去年产量的月平均增长率是_解析：设1月份的产量为a，则12月份的产量为7a，所以a(1x)117a，解得x1.答案：15如果本金为a，每期利率为r，按复利计算，本利和为y，则
3、存x期后，y与x之间的函数关系是_解析：1期后yaara(1r)；2期后ya(1r)a(1r)ra(1r)2；归纳可得x期后ya(1r)x.答案：ya(1r)x6一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，n年后这批设备的价值为_万元解析：1年后价值为：aab%a(1b%)，2年后价值为：a(1b%)a(1b%)b%a(1b%)2，所以n年后价值为：a(1b%)n.答案：a(1b%)n7在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，则该气
4、体通过半径为r的管道时，其流量速度R的解析式为_解析：由题意可设Rkr4(k0)，由r3，R400，可得k，则流量速率R的解析式为：Rr4.答案：Rr48为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12 m3的部分3元/m3超过12 m3但不超过18 m3的部分6元/m3超过18 m3的部分9元/m3若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为_m3.解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则y即y所以486x36.所以x14.答案：149国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫作税率为
5、8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x的范围解：(1)y120m1(2x)%(8%x%)0.024m(x242x400)(0x8)(2)由题可知，0.024m(x242x400)120m8%78%，即x242x880，(x44)(x2)0，解得44x2.又因为0x8，所以0x2.10.如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB10 m，BC2.4 m现把隧道的横
6、断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m，宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)?解：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5，2.5)，点C的坐标为(10，0)，所以设抛物线的解析式为ya(x5)22.5.把(10，0)代入得0a(105)22.5，解得a，y(x5)22.5.当y42.41.6时，1.6(x5)22.5，即(x5)29，解得x18，x22.显然，x22不符合题意，舍去，所以x8.OCx1082.故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部11为了夏季降温
7、和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)(0x10)若不建隔热层，每年能源消耗费8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，求k的值及f(x)的表达式解：设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8得k40，因此C(x)，而建造费为6x，故f(x)20C(x)6x6x(0x10)12小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：x/月23456y/元1.402.56
8、5.3111.0021.30小明选择了模型yx，他的同学却认为模型y更合适(1)你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由(2)试用你认为较好的函数模型来分析，大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？(参考数据lg 20.301 0，lg 30.477 1)解：(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数yx及y的图象，如图所示观察发现，这些点基本上落在函数y的图象上或附近，因此用函数模型y较好(2)当100时，2x300，所以xlog23008.23.故大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元B级能力提升13据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2011年的湖
9、水量为m，从2011年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为()Ay0.9 By(10.1)mCy0.9m Dy(10.150x)m解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)500.9.所以q%0.9，即x年后的湖水量为0.9m.答案：C14根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是()A75，25 B75，16 C60，25 D60，16解析：由题意知，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60.将c60代入15，得A16.答案
10、：D15有一种树木栽植五年后可成材，在栽植后五年内，木材年增长率为20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长率为10%，现有两种砍伐方案：甲方案，栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐；乙方案，栽植五年后砍伐重栽，过五年再砍伐一次则十年后，_方案可以得到较多的木材(不考虑最初的树苗的成本，只按成材的树木计算)解析：设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后木材产量为y1a(120%)5(110%)5a(1.21.1)54.01a，乙方案在10年后木材产量为y22a(120%)52a1.254.98a.y1y24.01a4.98a0，所以乙方案能获得较多的木材答案：乙16某地区上年度电价为0.8元/(k
11、Wh)，年用电量为a kWh，本年度计划将电价下降到0.55元/(kWh)至0.75元/(kWh)之间，而用户期望电价为0.4元/(kWh)经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)该地区的电力成本价为0.3元/(kWh)(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式注：收益实际电量(实际电价成本价)；(2)设k0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?解：(1)设下调后的电价为x元/(kWh)，依题意知用电量增至a(kWh)电力部门的收益为：y(x0.3)，0.55x0.75.(2)依题意有(x0.3
12、)a(0.80.3)(120%)且0.55x0.75.整理得0.60x0.75，即当电价最低定为0.60元/(kWh)时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.17声强级Y(单位：分贝)由公式Y10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)(1)平时常人交谈时的声强约为106W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少；(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5107W/m2，这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当I106W/m2时，代入公式得Y10lg 10lg 10660.即声强级为60分贝
13、(2)当Y0时，即为10lg 0，所以1.I1012W/m2，则能听到的最低声强为1012W/m2.(3)当声强I5107W/m2时，声强级Y10lg 10lg (5105)5010lg 550，所以这两位同学会影响其他同学休息18为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数解析式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解：(1)从图中可以看出线段的端点分别为(0，0)，(0.1，1)，所以在t0，0.1时，表达式为y10t.因为点(0.1，1)也在y上，所以a0.1.所以当t0.1时，y.所以函数解析式y(2)依题意，如果学生进入教室，则有y0.25.所以，即.又因为y是减函数，所以2t0.21.所以t0.6.因此至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室