1、高考资源网（ ），您身边的高考专家第三讲函数的图象与性质1函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2a，b，那么(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)00时，f(x)x2，则f(1)等于()A2 B0 C1 D2答案A解析f(1)f(1)(11)2.3 (2013四川)函数y的图象大致是()答案C解析由3x10得x0，函数y的定义域为x|x0，可排除选项A；当x1时，y0，可排除选项B；当x2
2、时，y1，当x4时，y，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.4 (2013北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)等于()Aex1 Bex1Cex1 Dex1答案D解析与yex图象关于y轴对称的函数为yex.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得yex的图象f(x)的图象由yex的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1.5 (2013江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析由已知f(0)0
3、，当xx等价于或解得：x5或5x0，x1，故x(0,1)(2)首先讨论1a,1a与1的关系，当a1,1a0时，1a1，所以f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因为f(1a)f(1a)，所以2a3a1，所以a(舍去)综上，满足条件的a.反思归纳(1)求函数定义域的方法：根据具体函数yf(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)，求解即可；根据抽象函数求定义域时：a.若已知函数f(x)的定义域为a，b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出b.若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域(2)求复合函数的函
4、数值，要先内后外；分段函数问题要准确代入函数的解析式，如不能确定要进行讨论互动探究若将例1(2)中“f(1a)f(1a)”变为“f(1a)f(1a)”，则a的取值范围是_答案a或a0解析当a0时，由f(1a)f(1a)得：(22a)a1a2a，解得a.所以a0，当a0.变式训练1设函数g(x)x22(xR)，f(x) 则f(x)的值域是()A，0(1，) B0，)C，) D，0(2，)答案D解析由xg(x)得xx22，x2；由xg(x)得xx22，1x2.f(x)即f(x)当x2；当x2时，f(x)8.当x(，1)(2，)时，函数的值域为(2，)当1x2时，f(x)0.当x1,2时，函数的值域
5、为，0综上可知，f(x)的值域为，0(2，)题型二函数的图象问题例2已知f(x) 则下列函数的图象错误的是()审题破题可以先画出函数f(x)的草图，然后变换得到其它函数的图象，也可以利用特殊点进行排除答案D解析先在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，再将函数yf(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到yf(x1)的图象，因此A正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到yf(x)的图象，因此B正确；yf(x)的值域是0,2，因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合，C正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当0x1时，yf(|x|)，相应这部分图象不是一条线段，
6、因此选项D不正确反思归纳(1)作图：应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成(2)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究变式训练2已知函数f(x)2x2，则函数y|f(x)|的图象可能是()答案B解析函数f(x)2x2是把函数y2x的图象向下平移两个单位得到的图象，由2x20得x1，即在(，1)上，函数f(x)2x2的图象位于x轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把x轴下方的部分对称到x轴上方后得到函数y|f(x)|的图象故选
7、B.题型三函数的性质问题例3(1)(2012山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 013)等于()A335 B337 C1 678 D2 012(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若对任意的x2，2，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A，)B(，C43，)D(，43，)审题破题(1)先判断函数的周期性，再求函数值；(2)利用函数f(x)的单调性先脱去f，然后分离t，再求最值得t的范围答案(1)B(2)B解析(1)利用函数的周期性和函数值的
8、求法求解f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(1)f(2)f(3)2，f(1)f(2)f(2 013)3352337.(2)设x0.f(x)(x)2，又f(x)是奇函数，f(x)x2.f(x)在R上为增函数，且2f(x)f(x
9、)故f(xt)2f(x)f(x)xtx在2，2上恒成立，由于xtx(1)xt，要使原不等式恒成立，只需(1)(2)tt即可反思归纳(1)周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)；T是所在正周期中最小的一个(2)函数的单调性往往和不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间，必要时可以利奇偶性作适当变换；去掉函数符号“f”然后求解变式训练3(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)等于()A1 B1 C2 D2答案A解析由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)f(4)f(2)f(1)，又f(x
10、)为R上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.(2)已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围为_答案(2，)解析易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx2)f(x)0f(mx2)f(x)f(x)，此时应有mx2xmxx20，对所有m2,2恒成立，令g(m)xmx2，此时只需即可，解之得2x0时，x0时，f(x)x22x(x1)21，当x1，)时，f(x)单调递减；当x(0,1时，f(x)单调递增8分当x0时，f(x)x22x(x1)21，当x(，1时，f(x)单调递减；当x1,0)时，f(x)单调递增综上知：函数f(x)在1,1
11、上单调递增10分又函数f(x)在区间1，a2上单调递增解之得10或x0，从而x0，这样可代入解析式求m.(2)本题可通过f(x)的图象直观地看出函数f(x)的单调区间有关分段函数的单调性问题，不但要注意每一段上的单调性，还应注意“接点”处函数值的大小1 (2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()Aycos 2x，xR Bylog2|x|，xR且x0Cy，xR Dyx31，xR答案B解析利用逐项排除法求解选项A中函数ycos 2x在区间上单调递减，不满足题意；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数，故选B.2 (2013山东)函数yxcos xsi
12、n x的图象大致为()答案D解析函数yxcos xsin x为奇函数，排除B.取x，排除C；取x，排除A，故选D.3 如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()Aa BaCa0 Da0答案D解析当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以aa.综合得a0.4 设f(x)为偶函数，对于任意的x0的数，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)等于()A2 B2 C8 D8答案D解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)4，f(3)f(
13、3)，当x1时，f(21)2f(21)，f(3)248，f(3)8.5 若偶函数f(x)在(，0)内单调递减，则不等式f(1)1，即lg x1或lg x10或0x.6 已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR，都有f(x4)f(x)；对于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称则下列结论中正确的是()Af(4.5)f(7)f(6.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(7)f(6.5)f(4.5)Df(4.5)f(6.5)f(7)答案A解析由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x2对称的函数f(4.5)f(4)f
14、()，f(7)f(43)f(3)，f(6.5)f(4)f()又f(x)在0,2上为增函数所以作出其在0,4上的图象知f(4.5)f(7)f(6.5)专题限时规范训练一、选择题1 已知函数f(x)lg(1x)的定义域为M，函数y的定义域为N，则MN()Ax|x1 Dx|x1答案A解析Mx|x1，Nx|x0，MNx|x1不关于原点对称，故选D.4 (2013湖南)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为()A3 B2 C1 D0答案B解析画出两个函数f(x)，g(x)的图象，由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.5 设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围
15、是()A1,2 B0,2C1，) D0，)答案D解析当x1时，21x2，解得x0，所以0x1；当x1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.6 已知函数f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(0,2) D(0,2答案D解析由题意，得解得0a2.7 方程log(a2x)2x有解，则a的最小值为()A2 B1 C. D.答案B解析方程log(a2x)2x等价于2xa2x，即a2x2x2x21，当且仅当2x，即2x，x1时取等号，所以选B.8 定义在(，)上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)在1,0上是增函数，下面五个关于f(x)的命
16、题中：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于直线x1对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上为减函数；f(2)f(0)，正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析由于f(x1)f(x)，所以f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，故命题正确；由于f(2x)f(x)f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x1对称，命题正确；偶函数在定义域上关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故命题不正确；根据周期性，函数在1,2上的单调性与1,0上的单调性相同，故命题不正确；根据周期性，命题正确故选C.二、填空题9 (2012江苏)函数f(x)的定义域为_答
17、案(0，解析要使函数f(x)有意义，则解得0x.10(2012陕西)设函数f(x)则f(f(4)_.答案4解析f(f(4)ff(16)4.11(2012上海)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.答案1解析yf(x)x2是奇函数，f(x)(x)2f(x)x2，f(x)f(x)2x20.f(1)f(1)20.f(1)1，f(1)3.g(x)f(x)2，g(1)f(1)2321.12设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_答案10解析因为f(x)的周期为2，所以fff，即ff.又因为fa1，f，所
18、以a1.整理，得a(b1)又因为f(1)f(1)，所以a1，即b2a.将代入，得a2，b4.所以a3b23(4)10.三、解答题13已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)xax，且g(x)在区间0,2上为减函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点B(x，y)，则B(x，y)在h(x)上，yx2.2yx2，yx，即f(x)x.(2)g(x)x2ax1，g(x)在0,2上为减函数，2，即a4.a的取值范围为(，414一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：(1)用表示铁棒的长度L()；(2)若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值解(1)根据题中图形可知，L()，.(2)本题即求L()的最小值L()2.令tsin cos ，t(1，原式可化为L(t).因为L(t)为减函数，所以L(t)L()4.所以铁棒的最大长度为4 m欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。