1、二十二椭圆方程及性质的应用 (15分钟30分)1已知直线l过点(3，1)和椭圆C：1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A1 B1或2 C2 D0【解析】选C.因为直线过点(3，1)且1，所以点(3，1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点2点A(a，1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()Aa BaC2a2 D1a1【解析】选A.由题意知1，解得ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e()A B C D【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(cb0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴
2、均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM()A B C D【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，kAMkBM.5已知椭圆C的焦点F1(2，0)，F2(2，0)，且长轴长为6，设直线yx2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标【解析】由已知条件得椭圆焦点在x轴上，其中c2，a3，从而b1，其标准方程为y21，联立方程，消去y得10x236x270，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，中点坐标为(x0，y0)，x0，所以y0x02，所以线段AB的中点坐标为. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知椭
3、圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2 C8 D2【解析】选B.根据已知条件c，则点M在椭圆1(m0)上，所以1，可得m2.2椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|()A B C D4【解析】选A.由椭圆y21，得a24，b21，所以c，不妨设P在x轴上方，则F1(，0)，设P(，m)(m0)，则m21，即m.所以|PF1|，根据椭圆定义，|PF1|PF2|2a4，得|PF2|4|PF1|4.3(2020秦皇岛高二检测)已知椭圆C：x21，直线l：yxm，
4、若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是()A BC D【解析】选C.设A，B是椭圆C上关于直线l对称的两点，AB的中点为M，则x1x22x0，y1y22y0，kAB1.又因为A，B在椭圆C上，所以x1，x1，两式相减可得2，即y02x0.又点M在直线l上，故y0x0m，解得x0m，y02m.因为点M在椭圆C内部，所以m22m21，解得m.4(2020宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆1的左、右焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且满足AF22F2B，|F1B|，则该椭圆的离心率是()A B C D【解析】选B.设|BF2|m，则|AF2|2m，|BF1|AF2|BF2|
5、3m，由椭圆的定义知|BF1|BF2|AF1|AF2|2a，所以|AF1|BF1|BF2|AF2|2m，因为|AF1|AF2|，所以A为椭圆的上顶点，设A，又F2，则直线AF2：yxb，将直线AF2的方程代入椭圆方程1中得x2x，解得x0或，因为AF22F2B，所以c2，化简得a23c2，所以e2e.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5(2020海南高二检测)设椭圆1的右焦点为F，直线ym(0m0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若6，则斜率k可以取的值为()A B C D【解析】选BD.由题可知，该椭圆的方程为y21，直线AB
6、，EF的方程分别为x2y2，ykx，设D(x0，y0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10，化简得m2.由根与系数的关系可得x1x21，所以4km2k21，将等式两边平方得16k2m2(2k21)2，所以m22.当且仅当k时，等号成立，由于m2，解得m或m.因此，直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得axby1，axby1.，得a(x2x1)(x2x1)b(y2y1
7、)(y2y1)0.而kAB1，kOC，则ba.又因为|AB|x2x1|x2x1|2，所以|x2x1|2.又由得(ab)x22bxb10，所以x1x2，x1x2.所以|x2x1|2(x1x2)24x1x244，将ba代入，得a，b，所以所求的椭圆方程为y21.10(2020渭南高二检测)已知椭圆C：1(ab0)的顶点到直线l1：yx的距离分别为和.(1)求椭圆C的标准方程(2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|，求直线l的方程【解析】(1)由直线l1：yx可知其与两坐标轴的夹角均为45，故长轴端点到直线l1的距离为a，短轴端点到直线l1的距离为b，所以a，b，解得a2，b1，所以椭圆C的
8、标准方程为y21.(2)设直线l：yxt(t0)，联立整理得5x28tx4t240，则64t2165(t21)0，解得t且t0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，故y1y2(x1t)(x2t)(x1x2)tx1x2t2，因为|，所以OAOB，即x1x2y1y20，解得t，满足t且t0，所以直线l的方程为yx或yx.1圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点F，若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线，是以F为一个焦点的椭圆，则的离心率的取值范围是()A B
9、 C D【解析】选B.当与底面趋于平行时，几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当与底面的夹角最大时，的离心率达到最大，下面求解这一最大值如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大ac|BF|BG|2，易知b1，所以则e.则离心率的取值范围是.【补偿训练】 已知椭圆1(ab0)短轴的一个端点为P(0，b)，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积为，则椭圆的离心率为_.【解析】根据题意可得P(0，b)，设A(x，y)，B(x，y)，由直线PA，PB的斜率之积为，则kPAkPB，由A在椭圆上可得椭圆1(ab0)，得，所以，即a2b，a24(a2c2)，可得e.答案：2已知曲线：1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点(1)当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2是定值(2)设点C满足(0)，且|PC|的最大值为7，求的值【解析】由椭圆方程可得A(4，0)，B(4，0)，设P(x0，y0).(1)k1，k2，所以k1k2为定值(2)因为，所以A，B，C三点共线，故设C(m，0)(4m4)，则|PC|.若m0，则|PC|max7，解得m3.此时(7，0)，(1，0)，7，由，得7；同理，若m0，可得m3，此时求得.故的值为7或.
