1、单元质检八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:由三视图得到空间几何体,如图所示,则PA平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以PAAD,PAAB,PABC.又BCAB,ABPA=A,所以BC平面PAB,所以BCPB.在PCD中,PD=22,PC=3,CD=5,所以PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为PAB,PAD,PBC,共3个.2.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列
2、四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;若mn,m,n,则.则错误命题的个数为()A.4B.3C.2D.1答案:B解析:若ml,且m,则l是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行时,也会满足前面的条件;若,则是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的;若mn,m,n,则是错误的,平面和可以是任意的夹角.故选B.3.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD平面ABCD,PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为()A.563B.643C.24D.803答案:B解析:令PAD所在圆的圆心为O1
3、,则易得圆O1的半径r=233,因为平面PAD平面ABCD,所以OO1=12AB=2,所以球O的半径R=4+2332=43,所以球O的表面积=4R2=643.4.如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,BAD=60,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()A.29B.49C.23D.43答案:A解析:连接DN,DP(图略),由题意知MDDN,|MN|=2,则|DP|=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球面的一部分,该球的体积为V=43r3=43.BAD
4、=60,ADC=120,120为360的13,只取半球的13,则V=431312=29.5.如图,在三棱柱ABC-ABC中,E,F,H,K分别为AC,CB,AB,BC的中点,G为ABC的重心.从K,H,G,B中取一点,设为P,使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF平行,则P为点()A.GB.HC.KD.B答案:A解析:若P为点G,连接BC,则F为BC的中点,EFAB,EFAB.AB平面GEF,AB平面GEF.P为点G符合题意;若P为点K,则有三条侧棱和AB,AB与该平面平行,不符合题意.若P为点H,则有上下两底面中的六条棱与该平面平行,不符合题意;若P为点B,则只有一条棱AB与该平面平行,也不符合题
5、意,故选A.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N是棱BC的中点,点M在四边形DCC1D1内部运动(包括边界).设直线A1D1与直线MN所成的角为,则当MN平面BB1D1D时,tan 的取值范围为()A.1,2B.1,5C.2,3D.3,5答案:B解析:取DC,D1C1的中点分别为P,Q,连接PQ,PN,QN,易证得平面PQN平面BB1D1D,故当点M在线段PQ上运动时,MN平面BB1D1D.因为A1D1BC,所以直线BC与直线MN所成的角即为直线A1D1与直线MN所成的角,所以MNC=.连接MC,显然NCMC.令正方体的棱长为2,PM=x,x0,2,则MC=x2+1,又CN=1,所以
6、tan=x2+1,所以tan1,5.故选B.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2020广西玉林一模)如图,实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成,已知BC=EF= cm,AE=2 cm,BE=CF=4 cm,AD=7 cm,且AEEF,AD底面AEF.某工厂要将其铸成一个实心铁球,假设在铸球过程中原材料将损耗20%,则铸得的铁球的半径为cm.答案:33解析:设铸得的铁球的半径为rcm.由题意可得几何体的体积为1224+13122(7-4)=5,即5(1-20%)=43r3,解得r=33.8.(2020广西柳州模拟)在三棱锥D-ABC中,已知AD平面ABC
7、,且ABC为正三角形,AD=AB=3,点O为三棱锥D-ABC的外接球的球心,则点O到棱DB的距离为.答案:12解析:设O为正三角形ABC的中心.作平面ODA交BC于点E,交BC于点F.设平面ODA截得外接球面是O,则D,A,F是O圆周上的点.又AD平面ABC,DAF=90.DF是O的直径.因此,球心O在DF上,球心O在平面ABC的射影在AF上,AF是O的直径.连接BD,BF,BFAD,BFAB,BF平面ABD.DBF=90.作OHBF交BD于点H,则OHBD.又DO=OF,OH是DBF的中位线.OH=12BF=12ABtanBAF=12333=12.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(
8、14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,O分别为棱AC1,AB,A1C1的中点.(1)求证:直线MN平面AOB1;(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为103,求三棱锥A-MON的体积.答案：(1)证明连接A1B交AB1于点P,连接NP,OP.则P是AB1的中点.N是AB的中点,NPBB1,且NP=12BB1.又M,O分别是AC1,A1C1的中点,MOAA1,且MO=12AA1.AA1BB1,且AA1=BB1,MONP,且MO=NP,四边形MOPN为平行四边形,MNOP.又MN平面AOB1,OP平面AOB1,MN平面AOB1.(2)解由题意,得VA-MON=VN-AMO=12VN-
9、AC1O=14VN-C1A1A=18VB-C1A1A.BB1平面AA1C1,VB-C1A1A=VB1-C1A1A,VB1-C1A1A=13VABC-A1B1C1=1033,VA-MON=181033=5312.10.(15分)如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=2,现将ACD沿AC折起,使D折到P的位置,且P在平面ABC上的射影E恰好在线段AB上.(1)求证:APPB;(2)求三棱锥P-EBC的表面积.答案：(1)证明由题意知PE平面ABC.BC平面ABC,PEBC.又ABBC,且ABPE=E,BC平面PAB.AP平面PAB,BCAP.又APCP,且BCCP=C,AP平面PBC.PB平面
10、PBC,APPB.(2)解在PAB中,由(1)得APPB,AB=4,AP=2,PB=23,PE=2234=3,BE=3,SPEB=1233=332.在EBC中,EB=3,BC=2,SEBC=1232=3.在PEC中,EC=EB2+BC2=13,SPEC=12313=392,SPBC=12BCPB=12223=23,三棱锥P-EBC的表面积为S=SPEB+SEBC+SPEC+SPBC=332+3+392+23=73+39+62.11.(15分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,E,F分别是CD边上的三等分点.将ADF,BCE分别沿AF,BE折起到ADF,BCE的位置,且使平面ADF底面
11、ABCD,平面BCE底面ABCD,连接DC.(1)证明:DC平面ABEF;(2)求点A到平面EFDC的距离.答案：(1)证明分别过点D,C作AF,BE的垂线,垂足为M,N,连接MN.因为平面ADF平面ABEF,且平面ADF平面ABEF=AF,所以DM平面ABEF,同理可证,CN平面ABEF,所以DMCN.因为ADFBCE,所以DM=CN.从而四边形DMNC为平行四边形,则DCMN.又DC平面ABEF,MN平面ABEF,所以DC平面ABEF.(2)解连接DD,DM.在RtDAF中,DF=AD=1,所以DM=22.因为SADF=12DFAD=1211=12,所以VD-ADF=13SADFDM=131222=212.设点A到平面EFDC的距离为h,因为DD=DM2+DM2=1,DF=DF=1,所以SDFD=34,所以VA-DFD=13SDFDh=1334h=312h.由VA-DFD=VD-ADF,得312h=212,所以h=63,故点A到平面EFDC的距离为63.