1、考纲要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机理解的重要性2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用考情分析1.本部分是高中的重点考查内容，涉及互斥事件、对立事件的概率以及离散型随机变量分布列，有时还会与期望、方差一起考查2命题形式多种多样，主要以解答题的形式出现。解题时要求有较强的分析问题、解决问题的能力，要求会依据题设确定离散型随机变量的值及其相应概率的求法 小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个。()(2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出。()(3)离散型随机变量的分布列中 pi
2、0(i1,2，n)。()(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。()解析：(1)正确。根据随机试验的条件可知正确。(2)错误。离散型随机变量的所有取值可以一一列出。(3)错误。离散型随机变量的分布列中 pi0(i1,2,3，n)。(4)正确。由离散型随机变量的分布列的性质可知该命题正确。2抛掷 2 颗骰子，所得点数之和记为 X，那么 X4 表示的随机试验结果是()A2 颗都是 4 点B1 颗 1 点，另 1 颗 3 点C2 颗都是 2 点D1 颗是 1 点，另 1 颗是 3 点，或者 2 颗都是 2 点解析：由于抛掷 1 颗骰子，可能出现的点数是 1,2,
3、3,4,5,6 这 6 种情况之一，而 X 表示抛掷 2 颗骰子所得到的点数之和，所以 X41322 表示的随机试验结果是：1 颗是 1 点，另 1 颗是 3 点，或者2 颗都是 2 点，故选 D。答案：D3袋中有大小相同的 5 只钢球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为 X，则 X 的所有可能取值个数为()A25 B10C7 D6解析：X 的可能取值为123,134,14523,15642，25734,358,459。答案：C4若随机变量 X 的分布列为 P(Xi)i2a(i1,2,3)，则 P(X2)()A.19B.16C.13 D.14解析
4、：由分布列的性质得 12a 22a 32a1，a3，P(X2)22a13。答案：C5从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3人中女生人数不超过 1 人的概率是_。解析：设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布，其中 N6，M2，n3，则P(x1)P(x0)P(x1)C02C34C36 C12C24C36 45。答案：45知识重温一、必记 3个知识点1离散型随机变量的分布列如果随机试验的结果可以用一个_来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做_。变量离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能
5、取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量 X 的_，简称为 X 的_。有时为了表达简单，也用等式_表示 X 的分布列。(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0，i1,2，n；i1npi1。概率分布列分布列P(Xxi)pi，i1,2，n3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为X01P1pp，其中 p_称为成功概率。P(X1)(2)超几何分布列：在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X 件次品数，则事件Xk发生的
6、概率为：P(Xk)CkMCnkNMCnN(k0,1,2，m)，其中 m_，且_，则称分布列为超几何分布列。X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnNminM，nnN，MN，n、M、NN*二、必明 2个易误点1分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率。看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的。每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率。2要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误。考点一 离散型随机变量分布列的性质【典例 1】(1
7、)(2016岳阳模拟)设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X101P1212qq2则 q 等于()A1 B1 22C1 22 D1 22(2)设离散型随机变量 X 的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求|X1|的分布列。C见解析解析：(1)由分布列的性质知12q0q201212qq21，所以 q1 22。(2)由分布列的性质，知 0.20.10.10.3m1，所以 m0.3。列表X01234|X1|10123所以 P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3。P(0)P(X1)0.1，P(2)0.3，P(3)0.3。因此|X1|的分布列为：0123P0.10.30.30.
8、3悟技法(1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数。(2)若 X 是随机变量，则 2X1，|X1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列。通一类1随机变量 X 的概率分布规律为 P(Xn)ann1(n1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P12X52 的值为()A.23 B.34C.45 D.56解析：由题意得 a12 a23 a34 a451，a11212131415 4a5 1，a54，P12X52 P(X1)P(X2)a12 a232a3 56。答案：D考点二 离散型随机变量的分布列及应用【
9、典例 2】袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各两个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量 X 的分布列；(3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率。解析：(1)方法一：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A)C35C12C12C12C31023。方法二：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的事件记为 B，则事件A 和事件 B
10、 是对立事件。因为 P(B)C15C22C18C31013，所以 P(A)1P(B)11323。(2)由题意，X 所有可能的取值为 2,3,4,5。P(X2)C22C12C12C22C310 130；P(X3)C24C12C14C22C310 215；P(X4)C26C12C16C22C310 310；P(X5)C28C12C18C22C310 815；所以随机变量 X 的概率分布列为：X2345P130215310815(3)“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C，则 P(C)P(X3 或 X4)P(X3)P(X4)215 3101330。悟技法分布列可由三种形式，
11、即表格、等式和图象表示，通常我们用表格表示。求分布列的具体步骤如下：通一类2在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：(1)取到的次品数 X 的分布列；(2)至少取到 1 件次品的概率。(精确到 0.0001)。解析：(1)由于从 100 件产品中任取 3 件的结果数为 C310，从 100件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的结果数为 Ck5C3k35，那么从 100件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为 P(Xk)Ck5C3k95C3100，k0,1,2,3。所以随机变量 X 的分布列是X0123PC05C395C3100C15C295C3100C25C
12、195C3100C35C095C3100(2)根据随机变量 X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率P(X1)P(X1)P(X2)P(X3)0.138 060.005 880.000 060.144 00。考点三 超几何分布【典例 3】(2016哈师大附中模拟)PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。根据现行国家标准 GB30952012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区 2015 年全
13、年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求 的分布列。解析：(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件 A，则 P(A)C13C27C310 2140。(2)根据条件，服
14、从超几何分布，其中 N10，M3，n3，的可能取值为 0,1,2,3，P(k)Ck3C3k7C310(k0,1,2,3)，其分布列为0123P72421407401120悟技法1随机变量是否服从超几何分布的判断(1)若随机变量 X 服从超几何分布，则满足如下条件：该试验是不放回地抽取 n 次；随机变量 X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然。(2)一般地，设有 N 件产品，其中次品和正品分别为 M1件，M2件(M1，M2N)，从中任取 n(nN)件产品，用 X，Y 分别表示取出的 n件产品中次品和正品的件数，则随机变量 X 服从参数为 N，M1，n 的超几何分布，随机变量 Y 服从参
15、数为 N，M2，n 的超几何分布。2求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数 N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列。通一类3(2016南昌模拟)从某小组的 5 名女生和 4 名男生中任选 3 人去参加一项公益活动。(1)求所选 3 人中恰有一名男生的概率；(2)求所选 3 人中男生人数 的分布列。解析：(1)所选 3 人中恰有一名男生的概率 PC25C14C39 1021。(2)的可能取值为 0,1,2,3。P(0)C35C39 542，P(1)C25C14C39 1021，P(2)
16、C15C24C39 514，P(3)C34C39 121。的分布列为0123P5421021514121高考模拟1(2016安溪模拟)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为 P(X)，则 P(X4)的值为()A.1220 B.2755C.27220 D.2125解析：由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球，故 P(X4)C23C19C312 27220。答案：C2(2016荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x、y”代替)，其表如下：X123
17、456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为_。解析：由于 0.200.10(0.1x0.05)0.10(0.10.01y)0.201，得 10 xy25，于是两个数据分别为 2,5。答案：2,53(2016衡水调研)设随机变量 X 的概率分布列如下表所示：X012Pa1316F(x)P(Xx)，则当 x 的取值范围是1,2)时，F(x)()A.13B.16C.12D.56解析：a13161，a12。x1,2)，F(x)P(Xx)121356。答案：D4(2016龙岩模拟)随机变量 的分布列如下：101Pabc其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|1)_。解析：a，b，c 成等差数列，2bac。又 abc1，b13，P(|1)ac2b23。答案：235(2016安庆月考)随机变量 X 的分布列为Xx1x2x3Pp1p2p3若 p1，p2，p3 成等差数列，则公差 d 的取值范围是_。解析：由题意，p2p1d，p3p12d。则 p1p2p33p13d1，p113d。又 0p11，013d1，即23d13。同理，由 0p31，得13d23，13d13。答案：13d13