1、考纲要求1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义考情分析1.本部分是高考中重点考查的内容，通常与平面几何、空间几何体、线性规划、不等式的求解、方程的根所在的区间，定积分等知识交汇命题，重点考查几何概型概率的求法2经常以选择题、填空题的形式出现，解题时经常用到数形结合思想 小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率。()(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的。()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等。()(4)在几何概型定义中的区域可以是线
2、段、平面图形、立体图形。()解析：(1)正确。由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确。(2)错误。虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等。(3)正确。由几何概型的定义知，该说法正确。(4)正确。由几何概型的定义知，该说法正确。2在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 G，以 AG 为半径作圆，则圆的面积介于 3664 cm2 的概率是()A.925 B.1625C.310D.15解析：如图，以 AG 为半径作圆，圆面积介于 3664 cm2，则AG 的长度应介于 68cm 之间。所求概率 P(A)21015。答案：D3如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边
3、 CD 的中点，若在矩形 ABCD内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于()A.14 B.13C.12 D.23解析：点 E 为边 CD 的中点，故所求的概率PABE的面积矩形ABCD的面积12，故选 C。答案：C4在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是()A.14 B.18C.4 D.8解析：设正方形的边长为 2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为121248。答案：D5在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M，并且以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率为(
4、)A.14B.13C.427 D.1245解析：正方形的面积介于 36cm2与 81cm2 之间即 AM 的长度介于6 到 9 之间，则其概率为9612 14。选 A。答案：A知识重温一、必记 2个知识点1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(_或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为_。2在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：P(A)_。长度 面积体积几何概型二、必明 2个易误点1计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题。2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果。考点一 与长度、角度有
5、关的几何概型【典例 1】(1)在区间2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m的概率为56，则 m_。(2)如图，在ABC 中，B60，C45，高 AD 3，在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM1 的概率为_。325解析：(1)由题意知 m0，当 m2 时，满足|x|m 的概率为mm42 2m6 56，解得 m52(舍去)。当 2m4 时，所求概率为m2656，m3。(2)B60，C45，BAC75，在 RtADB 中，AD 3，B60，BD ADtan601，BAD30。记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1”，则可得BAMBAD 时
6、事件 N 发生。由几何概型的概率公式得 P(N)307525。悟技法解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围。当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比。通一类1设 P 在0,5上随机地取值，则关于 x 的方程 x2px10 有实数根的概率为()A.15 B.25C.35D.45解析：方程有实根，则 p240，解得 p2 或 p2(舍去)。所以所求概率为525035。答案：C2.如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，
7、BC1，以 A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧 DE，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP与线段 BC 有公共点的概率为_。解析：因为在DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为“DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在CAB 内，区域 h 为CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为CABDAB309013。答案：13考点二 与面积有关的几何概型【典例 2】(1)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方
8、形 EFGH 内”，则 P(A)()A.4B.1C2 D.2 (2)设不等式组0 x2y2 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是()A.4B.22 C.6 D.44DD解析：(1)豆子落在正方形 EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形 EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型。因为圆的半径为 1，所以正方形 EFGH 的边长是 2，则正方形 EFGH 的面积是 2，又圆的面积是，所以 P(A)2。(2)如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大
9、于2 的区域，易知该阴影部分的面积为 4，因此满足条件的概率是44。故选 D。悟技法数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法。用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域，通用公式：P(A)构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度。通一类3已知 x1,1，y0,2，则点 P(x，y)落在区域2xy20 x2y10 xy20内的概率为()A.316B.38C.34 D.32B解析：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为123211232132，则所求概率为322238
10、。考点三 与体积有关的几何概型【典例 3】在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P，则点P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_。解析：点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外。记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A，则 P(A)231243 13231 12。答案：1 12悟技法很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键。通一类4.如图，正
11、方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD 的体积小于16的概率为_。12解析：当 VMABCD16时，即1311h16，解得 h12，即点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所求概率 P111211112。考点四 与线性规划有关的几何概型【典例 4】两人约定在 20：00 到 21：00 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20：00 到 21：00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。解析：不失一般性，设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间内相见
12、，当且仅当|xy|23。两人到达约见地点的所有时刻(x，y)的可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点表示，即阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，即 P S阴影S单位正方形11321289。悟技法解决此题的关键是将已知两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题。通一类5甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。甲、乙两船停靠泊位的时间分别为 4 小时与 2 小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解析：甲比乙早到 4 小时内乙须等待，甲比乙晚到 2 小时内甲须等待。以 x 和 y 分别表示
13、甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间的充要条件为2xy4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为 24 的正方形，而事件 A“有一艘船停靠泊位时须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示。由几何概型公式得：P(A)2421222212202242 67288。故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是 67288。高考模拟1(2015陕西卷)设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx的概率为()A.34 12 B.14 12C.121D.121B解析：由题得|z|2(x2)2y21，又 yx，如图所示，阴影部分为 yx 区域，易得O
14、BA90，S 阴影14r212r2412。由几何概型，得 yx 的概率为S阴影S圆 412 14 12。故选 B。2(2015湖北卷)在区间0,1上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“xy12”的概率，p2 为事件“|xy|12”的概率，p3 为事件“xy12”的概率，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp3p1p2 Dp3p2p1B解析：p1112121211 78，p2121212121111434，p31111212ln121212ln2，p2p3p1。3在区间2,3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为()A.45B.35C.25D.15解析：区间2,3的长度为 3(2)5，2
15、,1的长度为 1(2)3，故满足条件的概率 P35。答案：B4如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_。解析：依题意，得 S阴影S正方形 1801 000，所以 S阴影11 1801 000，解得 S 阴影0.18。答案：0.185某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为_。(用数字作答)932解析：设小张与小王的到校时间分别为 7：00 后第 x 分钟，第 y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400。小张比小王至少早 5 分钟到校表示的事件 A(x，y)|yx5,30 x50，30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1215152252，所以小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 P(A)2252400 932。
