立足必备品格 考查关键能力——2022年高考“概率与统计”专题命题分析.pdf

1、下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）概率与统计是高中数学课程内容的四条主线之一，贯穿于必修、选择性必修和选修课程之中.与普通高中数学课程标准（实验）相比，普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称标准）中概率与统计部分课程内容的设置有所增加，要求有所提升.2022 年高考数学全国卷（全国甲卷文、理科，全国乙卷文、理科，全国新高考卷，全国新高考卷）和地方卷（天津卷、北京卷、浙江卷、上海卷）对概率与统计知识的考查，沿袭了近几年的特点.基于 中国高考评价体系（以下简称 体系），聚焦学生数学核心素养，结合人类生产和生活实际，以丰富的实际背景，体现数学的应用价值，考查学生

2、的必备品格与关键能力.一、考查内容分析2022年高考概率与统计试题坚持知识为基、能力为重、素养导向和价值引领的命题原则，深化基础性，增强开放性和灵活性，对学生的逻辑思维、运算求解、数学建模和创新等关键能力进行了全面考查.1.考查内容概述2022年高考概率与统计试题的主要考查内容，如表1所示.表12022年高考概率与统计试题的主要考查内容考查内容概率古典概型，概率的基本性质，事件的关系和运算，事件的相互独立性，正态分布，离散型随机变量的分布列、期望，条件概率统计统计图表（直方图、茎叶图、散点图），样本估计总体，数据的中位数、平均数和标准差、极差等数字特征的意义和计算，2 2 列联表独立性检验，样

3、本相关系数计数原理排列与组合，二项式定理从考查内容的特点来看，试题紧紧围绕概率与统计的基础知识，着力考查学生运用概率与统计的知识与方法分析问题和解决问题的能力，综合考查学生的数学核心素养，突出综合性和应用性.较好地检验了学生是否已经具备运用概率与统计的基本思想和方法解决实际问题的能力.2.具体考点分析2022年高考概率与统计试题的具体考查情况，如表2所示.立足必备品格考查关键能力2022年高考“概率与统计”专题命题分析王锐1，曲巍2，吴丽华2（1.黑龙江省哈尔滨市第十四中学校；2.黑龙江教师发展学院）收稿日期：2022-07-05基金项目：黑龙江省教育科学“十四五”规划 2021 年度重点课题

4、核心素养视域下普通高中数学课堂教学改革研究（JYB1421286）.作者简介：王锐（1979），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.摘要：2022年高考对概率与统计的考查，突出中国高考评价体系“一核、四层、四翼”的功能与要求，立足“四基”“四能”，凸显数学的应用价值.试题对学生的关键能力与核心素养提出了较高要求，发挥了正确的育人导向作用.关键词：概率与统计；计数原理；高考数学；核心素养命题研究命题研究 55下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）（1）考点较为集中，差异小幅度提升.从表2可以看出，6份全国卷中，除全国新高考卷外，其余5份试卷都对古典概型进行了考查；有4份试

5、卷（全国甲卷文科，全国乙卷文、理科，全国新高考卷）考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征.与2021年相比，全国甲卷文、理科的解答题差异化较明显（2021年完全相同）.北京卷、天津卷、浙江卷继续对二项式定理进行了考查（此内容近年来已连续出现），浙江卷和北京卷持续考查了随机变量的分布列和期望.（2）分值保持相等，题型比较全面.6份全国卷中，概率与统计试题所占分值均为22分，均设有两道客观题和一道主观题，与2021年基本持平.4份地方卷中，概率与统计试题所占分值略有不同：上表22022年高考概率与统计试题的考查情况卷别全国甲卷全国乙卷新高考卷新高考卷北京卷天津卷浙江卷上海卷理文文理理文文理理文理

6、文题号226151917410131419195132051319818111312159分值55551212555512125512551241455665题型单选题填空题解答题单选题填空题解答题单选题填空题解答题单选题填空题解答题单选题解答题填空题填空题填空题考查内容散点图、数据的中位数、平均数和标准差、极差等数字特征的意义和计算古典概型事件的关系和运算、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列、期望样本估计总体、2 2列联表茎叶图、中位数、平均数、古典概型事件的关系和运算、相互独立事件、条件概率古典概型样本估计总体、相关系数古典概型二项式定理2 2列联表、条件概率排列组合正态分布直方图、

7、样本估计总体、条件概率二项式定理用频率估计概率，独立事件的概率、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列及数学期望二项式定理古典概型、条件概率二项式定理古典概型，离散型随机变量的概率分布及数学期望古典概型命题研究命题研究 56下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）海卷最少，仅为5分；北京卷18分；浙江卷12分，与2021 年概率与统计试题所占的分值相比无明显变化；天津卷则有所下降，2022年10分，2021年15分.6 份全国卷中，概率与统计试题均涵盖了选择题、填空题和解答题，题型较全面，与2021年相比有所变化（2021 年均未涉及填空题）；地方卷则延续了2021年的题型设置，仅北

8、京卷在解答题中出现，上海卷、天津卷和浙江卷全部以填空题为主要考查形式.（3）难度总体稳定，突出通性、通法.2022 年高考概率与统计试题注重对“四基”“四能”的考查，关注学生未来发展所需的必备品格与关键能力.试题面向全体学生，难度适中，多为中档偏下试题，突出用基本概念、公式、定理解决问题的常规方法，注重对数学思想方法和数学能力的考查，着重考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理、数学抽象和数学建模等素养.二、命题特点分析1.命题意图分析2022年高考概率与统计试题紧紧围绕生产与生活实际，落实立德树人根本任务，充分体现数学的应用价值.例如，试题中既有公益讲座、垃圾分类、社区服务和环境治理等凸显社会

9、主义核心价值观的背景，又有比赛结果预测、患病预测等数学服务于生活的背景，具有鲜明的时代特色和应用性.试题较全面地考查了概率与统计内容的核心思想和概念，较好地检测了学生的“四基”“四能”和数学核心素养.（1）关注主干知识，注重基础考查.例 1（全国甲卷文 6）从分别写有 1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）.（A）15（B）13（C）25（D）23答案：C.例 2（全国甲卷理 15）从正方体的 8 个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_.答案：635.考查目标：古典概型的理解及古典概型中简单随机事件概率的计算.命题意

10、图：两道例题重点考查学生对概率模型的理解和应用，考查学生对古典概型特点的掌握情况，以及是否能在实际问题中加以应用.要求学生能够根据实际问题正确建立概率模型.例 1 是文科试题，需要学生利用枚举法完成计算；例 2 是理科试题，需要学生综合运用排列组合和枚举法解决问题.两道例题都需要学生正确计算所有基本事件的个数，以及所求事件包含的基本事件的个数，着重考查学生的逻辑推理、数学运算和直观想象（例2）等素养.命题评价：这两道试题虽然都属于简单题，但是对学生逻辑思维的严谨性和严密性要求较高.古典概型是高中阶段学生学习的重要概率模型，有着举足轻重的地位，基本是每年高考必考的考点之一.用古典概型解决问题的前

11、提：一是基本事件有限；二是基本事件发生的概率等可能.在教学和复习中，教师要注重通过具体实例引导学生加强辨析.（2）关注关键能力，注重“四翼”落实.例3（全国新高考卷13）|1-yx()x+y8 的展开式中 x2y6 的系数为_（用数字作答）.答案：-28.例 4（浙江卷12）已知多项式()x+2()x-14=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则 a2 的值为_，a1+a2+a3+a4+a5 的值为_.答案：8，-2.考查目标：二项式定理的掌握与运用.命题意图：两道试题借助二项式定理的应用，不仅考查了学生对基本定理的掌握情况，还检测了学生运用转化与化归思想解决问题的能力.例

12、4 涉及赋值法的应用，对学生的应变能力有较高要求.两道试题考查了学生的逻辑推理和数学运算等素养.命题评价：以上两道试题虽然属于基础题，但是对学生的思维能力和计算能力都有较高要求，有效落实了体系“基础性、综合性、应用性和创新性”的“四翼”要求.二项式定理作为联系不同领域数学知识的纽带，既可以看作计数原理和组合知识的应用，又可以看作解决有关概率问题的基础.近几年高考中持续出现有关二项式定理的考查，复习中教师可以引导学生从多项式要素（项、次数、系数）的角度出发，结合“项”的规律，从结构特征上理解性记忆公式.同时，要关注二项式系数的性质，以及在分析、总结性质的过程中所运用的解决问题的思想方法.命题研究

13、命题研究 57下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）（3）关注教材，注重与教材的衔接.例 5（全国新高考卷13）已知随机变量X 服从正态分布 N()2，2，且 P()2 2.5 的值为_.答案：0.14.考查目标：正态分布的几何特征.命题意图：该题需要学生正确理解正态分布曲线，并对其几何特征有清晰的认知，明确各参量在正态分布曲线中的几何意义.在解决问题的过程中，侧重于数形结合思想的运用，着重考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.命题评价：该题属于基础题，类似的背景在各版本教材中都有出现.例如，人教 A 版 普通高中教科书数学选择性必修第三册习题7.5的第2题，旨在检测学生对

14、高中阶段应知、应会知识的全面掌握情况.正态分布作为一种刻画概率分布的常用模型，在概率和统计中占有重要地位.2021 年全国新高考卷在第 6 题中已进行了类似的考查，2022 年继续对此问题进行检测，足见该知识点的重要性.在教学与复习中，教师要引导学生深入理解正态分布均值与方差的含义，明确曲线的特征与性质，灵活利用 3 原则求解概率问题.例6（全国乙卷理10）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p1，p2，p3，且 p3 p2 p1 0.记该棋手连胜两盘的概率为 p，则（）.（A）p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关（B）该棋

15、手在第二盘与甲比赛，p 最大（C）该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大（D）该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大答案：D.考查目标：互斥事件、条件概率、独立事件的理解和概率的运算.命题意图：该题在考查知识的同时更关注对能力的考查.需要学生在严谨的逻辑推理中进行分类计算和综合比较，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.命题评价：该题的背景是常规的，教材中也有类似的背景.例如，人教 A 版 普通高中课程标准实验教科书数学（选修23）习题2.2中B组的第1题，难度属于中档偏上，原题通过具体概率值进行计算，判断局制长短对选手的利弊.该题则以抽象字母为代表，凸显了概率的本质，增加了比较的难度，可以有效检测学生

16、的概率思想，考查学生的逻辑推理、数学运算和数学抽象等素养，是“反套路、反刷题”的代表，有效引导教学回归教材、关注教材，注重了考试与教材的衔接.对于概率的学习，不能局限于各种概率的计算，要增强学生分析随机现象的能力，发展其认识不确定现象的思维模式，促使学生学会辩证地思考问题，提升学生的数学核心素养.（4）关注生活实际，注重数学应用.例7（全国甲卷理19）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得 0 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠

17、军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.答案：（1）0.6；（2）X 的分布列如表3所示.表3XP00.16100.44200.34300.06E()X=13.考查目标：互斥事件、独立事件、离散型随机变量的分布列及数学期望的理解与计算.命题意图：通过考查学生对事件结构、随机变量分布的分析、计算与推证，检测学生的“四基”“四能”，以及数学理解能力与应用能力，考查逻辑推理、数学运算和数学抽象等素养.命题评价：该题属于中档题，突出数学在实际生活中的应用价值.此类问题属于重点问题，经常出现在高考试题中.复习中，教师要引领学生抓住核心要素，剥去“背景”的外衣，分析本质；学会将

18、随机变量取值的概率转化为相应事件的概率，真正做到举一反三、触类旁通.例8（全国新高考卷19）在某地区进行流行病调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如图1所示的样本数据的频率分布直方图.命题研究命题研究 58下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）0.0230.0200.0170.0120.0060.0020.001010203040 5060708090 年龄/岁图1频率组距（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为 0.1%，该

19、地区年龄位于区间40，50）的人口占该地区总人口的16%.从该地区任选一人，若此人年龄位于区间40，50），求此人患该种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1.）答案：（1）47.9岁；（2）0.89；（3）0.001 4.考查目标：频率估计概率、频率分布直方图、条件概率的理解.命题意图：该题利用频率分布直方图考查学生的读图能力.要求学生通过对图形中样本数据的分析与计算对总体进行估计；第（3）小题涉及条件概率的考查，需要学生对试题有清晰的理解与认识，将实际问题抽象为数学问题，利用相关概念、公式进行解答.考查学生的数据分析、数学运

20、算、逻辑推理和数学抽象等素养.命题评价：该题以流行病调查为背景，利用调查数据估计系列问题，凸显数学在生活中的应用价值.第（1）小题和第（2）小题比较基础和常规，是高考中的常见问题；第（3）小题考查条件概率，与前两小题相比，难度有所提升.条件概率是概率论的重要概念之一，也是概率论的理论基础，在理论和实践中都有重要应用.在教学和复习中，教师要注重引导学生从样本空间的概念出发认识和理解条件概率，即以事件 A为样本空间看事件 B 发生的概率，有助于提高学生对此概念的理解.例9（全国新高考卷20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾

21、病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如表4所示的数据.表4病例组对照组不够良好4010良好6090（1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”.P()B|AP()B|A与P()B|AP()B|A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.证明：R=P()A|BP()A|BP()A|BP()A|B；利用该调查数据，给出 P()A|B，P()A|B 的估计值，并

22、利用的结果给出R的估计值.附：K2=n()ad-bc2()a+b()c+d()a+c()b+d.表5P()K2 kk0.0503.8410.0106.6350.00110.828答案：（1）有.（2）略；R=6.考查目标：独立性检验、条件概率、对立事件的理解与应用.命题意图：第（1）小题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，通过提取2 2列联表中的数据信息，利用公式计算 K2，分析和判断实际问题，有效考查了学生对独立性检验的理解.第（2）小题第问以证明题的方式考查条件概率公式的运用，对学生的逻辑推理能力要求较高，检测了学生对基本公式的掌握和关键能力的水平层级；第问对概率的综合理解进行了全

23、面考查，学生需要具备特殊与一般的思想，明命题研究命题研究 59下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）确对立事件的概念，灵活处理问题.该题考查了学生数据分析、数学运算、逻辑推理和数学抽象等素养.命题评价：该题以地方性疾病与当地居民的卫生习惯为背景，较为综合，在体现数学应用价值的同时考查学生的关键能力，具有一定的区分度.估计和假设检验是两种基本的统计推断方法，也是近几年高考的高频考点.在教学与复习中，教师要注意把握统计的学科逻辑特点，使学生明确统计的推断有可能犯错，结论具有不确定性；要加强学生对统计思想的理解，提升他们的数据分析素养.（5）关注立德树人，注重情境创新.例10（全国甲卷文

24、/理2）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图2所示.100%95%90%85%80%75%70%65%60%10987654321居民编号正确率*讲座前*讲座后图20则（）.（A）讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%（B）讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%（C）讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差（D）讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差答案：B.考查目标：统计图表的认识与应用，中位数、平均数、标准差

25、、极差概念的理解.命题意图：该题以统计图表为载体，考查学生根据图表信息分析、提炼数据，以及推断并计算各个参量的能力.要求学生在正确掌握相关概念的基础上，快速、准确地进行判断和计算，考查学生的数据分析、逻辑推理和数学运算等素养.命题评价：该题属于基础题，结合图表，对统计问题中涉及的基本概念进行了全面的考查，具有知识点覆盖面全的特点.同时，试题依托公益讲座、垃圾分类等实际背景，有效践行了社会主义核心价值观，落实了立德树人根本任务.近几年，统计问题在各份高考数学试卷的客观题中都有考查，试题背景多与社会生活实际相联系.复习中，教师不仅要引导学生深刻认识每一个数字特征的意义，还要注重帮助学生理解不同数字

26、特征的区别与联系.例 11（全国乙卷文/理 19）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如表6所示的数据.表6样本号 i根部横截面积 xi材积量 yi10.040.2520.060.4030.040.2240.080.5450.080.5160.050.3470.050.3680.070.4690.070.42100.060.40总和0.63.9并计算得i=110 x2i=0.038，i=110y2i=1.615 8，i=110 xiyi=0.247 4.

27、（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数 r=i=1n()xi-x()yi-yi=1n()xi-x2i=1n()yi-y2，1.896 1.377.答案：（1）0.06 m2；0.39 m3；（2）0.97；（3）1 209 m3.考查目标：平均值及相关系数的理解与计算，样本估计总体的灵

28、活应用.命题意图：该题重在考查学生对数据信息的读取与应用能力，要求学生在理解公式的基础上，对所给公式命题研究命题研究 60下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）整理、归类，对学生的转化能力和计算能力要求较高.考查学生的数据分析、数学运算和逻辑推理等素养.命题评价：该题以环境治理、荒山造林为背景，体现我国建设与发展的理念与作为，具有鲜明的时代特色.试题求解思路单一，但计算量较大，对学生的数学运算能力有较高要求.相关系数服务于成对系数的统计相关性，只衡量变量间线性关系的密切程度.在教学与复习中，教师要引导学生增强对相关系数的进一步认识，更深入地了解公式.2.命题导向分析综观近几年的高考

29、概率与统计试题，命题形式逐步趋于平稳，常规考点较集中，注重落实 体系 中“四层”“四翼”的考核要求；试题命制背景多与生产、生活紧密相连，充分展现数学的应用价值和人文价值.因此，未来高考，预计会有如下发展趋势.（1）考查内容突出基础性.有关高考试题会继续立足对概率与统计专题基础知识的全面考查和对学生应知、应会知识的全面检测.例如，计数原理部分仍会突出对两个计数原理、排列组合和二项式定理等基础知识的考查，重视对基本概念、基本公式和基本定理的理解与运用；概率部分的古典概型、随机事件概率的运算和正态分布等，统计部分的抽样方法、统计图表和用样本估计总体等，都会是客观题的高频考点.（2）试题命制体现回归性

30、.长久以来，高考试题的命制大多数以教材内容为蓝本进行“再加工”，体现“源于教材、高于教材”的特点，实现与教材的衔接.未来，教材仍旧会是高考命题的重要参考，意在引导教学“关注教材、回归教材”，引导教师重视基本概念、基本原理和基本数学思想，将基本概念与原理讲清、讲透，摒弃模仿记忆与题海战术，有效落实“双减”政策，引导学生深入理解所教内容，深刻分析教材内容和经典题目，充分挖掘试题的根源.（3）题型设置兼顾全面性.全国卷概率与统计试题的考查题型一般为两道客观题和一道主观题.2021 年全国新高考卷和全国新高考卷曾在多选题中对该部分知识进行考查，2022年则在填空题中对该部分知识进行考查，使得考查方式更

31、具多元化，且兼顾了题型的全面性.未来，可能会出现题型交替出现的现象，也可能会提升难度，在多选题和填空题中同时出现.（4）分值占比保持稳定性.近几年，各份高考数学试卷中，概率与统计试题总体分值较为稳定，维持在22分左右.从其在高中数学教学内容中的占比来看，未来会继续保持在这个分数，暂时不会有较大调整.（5）试题背景关注应用性.概率与统计以其特殊的思想体系和广泛的应用空间成为数学与生活联系的重要纽带之一，是体现数学应用性的有效载体.近年来的高考数学试卷中，概率与统计试题的命题在联系生产和生活实际、融合立德树人及增强“四个自信”方面发挥了不可替代的作用.未来，高考数学试题的命题会继续在此专题关注数学

32、应用性的体现，在试题背景上拓展、创新，体现时代特征，凸显数学的育人价值.（6）难易程度呈现波动性.近几年，高考中概率与统计试题的难度较为平稳.新科技革命对人才的需求日益强烈，对高中教学和大学教学都提出了新的要求.以体系“一核”为统领，落实立德树人根本任务，体现数学育人价值，是数学教学和高考都需要承载的.概率与统计作为服务新科技的基础之一，对学生的关键能力和综合素养有很好的检验效果.因此，未来高考概率与统计试题的难度可能会出现小幅度波动，类似2022年全国乙卷理科第10题的问题预计会继续出现.同时，也有可能结合其他知识，出现类似2019年全国卷压轴题的问题，综合考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学

33、运算、数学建模、数据分析和直观想象等素养.三、复习教学建议1.立足夯实“四基”，强化理解记忆对于基础的考查，永远都不会停滞.在时代发展的需求下，考查方式与时俱进，推陈出新，更加灵活多变.因此，在教学与复习中，要以夯实学生“四基”为首要任务，依据标准的要求，开展针对性的精准复习.要强化学生对基本概念、基本原理和基本性质的理解性记忆，帮助学生掌握解决问题的基本方法.对于基础性问题（如计数原理），不要人为提高难度.命题研究命题研究 61下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）在此过程中，要特别注重对教材的使用.作为高考数学命题的重要参考之一，教材在复习中具有不可替代的作用.教师要利用好教材

34、的引领功能：在重现教材例题的过程中规范答题步骤与格式，在重练教材重点习题的过程中夯实通性、通法.同时，要关注教材内容的变化.例如，相关系数公式的推导，在新教材中已经完整给出，这为学生深入理解公式提供了源泉.2.立足发展“四能”，强化思想提升近年来，高考数学试题的命制正在朝着淡化解题技巧的“反套路”方向迈进，对学生“四能”的要求逐步提升.而概率与统计试题正是发展学生“四能”的有效载体.该专题的复习切忌题型套路的教学.否则，学生一旦面对新的问题情境，就会显得茫然不知所措.在复习教学中，教师要关注学生随机思想、抽样思想和统计推断思想等概率统计思想的提升，注重引导学生用概率统计的思想分析问题，真正理解

35、问题的本质.例如，用样本信息估计总体信息是统计学的基本思想，也是近几年高考中的高频考点.我们不仅可以通过画图、列表和计算等方式发现样本数据中的规律，提取样本数据中的全部信息，还可以通过计算概率来判断一个推断正误的概率，这都是统计推断思想的应用；要围绕抽象、推理和模型这三个数学基本思想的核心要素逐步提升学生的数学思想，培养、建立学生用概率与统计思想分析、解决问题的能力和习惯；要结合实际，使用不同的方法选择、统计和分析数据，建立合适的数学模型，切实提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.3.立足体系架构，强化融会贯通复习中要着重加强对知识的梳理，引导学生关注概念的内涵和外延，将零散的

36、知识点排序归类，集点成线、集线成面、集面成体，构建完整的知识框架，厘清各知识点之间的内在联系，形成清晰的知识体系.以统计为例，必修课程内容主要是关于单变量总体的估计，如通过样本数据的均值、方差和百分位数估计总体相应的数字特征；而在选择性必修课程中，仍然沿用样本估计总体的基本思想展开研究，只是数据由一维变为二维，总体由单变量变成双变量.通过样本相关系数估计两个变量的关系，通过 K2 统计量检验两个分类变量的独立性，都是关于两个变量的总体估计.4.立足核心素养，强化数学本质高考概率与统计试题的命制常以现实生活中的实际背景为情境，文字量大，信息众多，对学生的阅读理解能力和数学核心素养都有较高要求.在

37、复习教学中，教师应着重培养学生用数学概念解读具体问题和提炼数学信息的能力，引导学生透过现象看本质，着力增强学生对概率事件的识别与计算能力，强化学生的统计推断思维，重视学生数学抽象、数据分析、逻辑推理和数学建模等素养的培养与提升.四、典型模拟题1.2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约 8 小时后，与中国空间站天和核心舱完成自主快速交接.如果下次执行空间站的任务由3名航天员承担，需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的 3 名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为（）.（A）67（B）910（C）25（D）415答案：B.2.某公司生产的一种产品按照质

38、量由高到低分为A，B，C，D 四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍.为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如图 3 所示的扇形图.改进生产工艺前A级D级C级B级30%37%28%5%改进生产工艺后A级D级C级B级30%60%4%6%图3（a）（b）根据以上信息，下列推断合理的是（）.（A）改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化（B）改进生产工艺后，D级产品的数量减少（C）改进生产工艺后，C级产品的数量减少（D）改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍答案：C.命题研究命题研究 62下半月（高中版）2022年

39、第10期（总第272期）3.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人的语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长的欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取 100 件萌宠机器人（以下统称“产品”），统计其性能指数并绘制频率分布直方图如图4所示.性能指数50 60 70 80 90 1001100.0250.0230.0200.0170.0110.004图4频率组距产品的性能指数在

40、)50，70 的适合托班幼儿使用（统称“A类产品”），在)70，90 的适合小班和中班幼儿使用（统称“B类产品”），在 90，110 的适合大班幼儿使用（统称“C 类产品”），A，B，C 三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100 件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润.（2）该公司为了解年营销费用 x（单位：万元）对年销售量 y（单位：万件）的影响，对近 5 年的年营销费用 xi 和年销售量 yi()i=1，2，3，4，5 数据做了初步处理，得到如图 5 所示的散点图，以及一些如表7所示的统计量的值.

41、10 20 30 40 50 60 70 80 年营销费用x/万元年销售量y/万件1201101009080706050403020100图5表7i=15ui16.30i=15i24.87i=15()ui-u()i-0.41i=15()ui-u21.64表中 ui=ln xi，i=ln yi，u=15i=15ui，=15i=15i.根据散点图判断，y=axb 可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程.（取e4.159=64.）建立 y 关于 x 的回归方程；用所求的回归方程估计该公司应投入营销费用为81万元时，一年大约销售多少万件？参考公式：对于一组数据()u1，1，()u

42、2，2，()un，n，其回归直线 =+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 =i=1n()ui-u()i-i=1n()ui-u2，=-u.答案：（1）4元.（2）y=64x14；192万件.4.某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加 n（n N*，且 n 2）次抽奖，每次中奖的概率为 13，不中奖的概率为 23，且各次抽奖相互独立.规定第 1 次抽奖时，若中奖则得 10 分，否则得 5 分.第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个.方案1：若中奖则得30分，否则得0分；方案 2：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分.第 3 次开始执行第 2 次抽奖所选方案，直到抽奖结束.（1）如果

43、 n=2，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪个方案？并说明理由.（2）记顾客甲第i次获得的分数为 Xi(i=1，2，)n，并且选择方案2.直接写出 E()Xi+1 与 E()Xi 的递推关系式，并求 E()X8 的值.（精确到 0.1，参考数据：2370.059.）答案：（1）应选择方案1，理由略.（2）E()Xi+1=23 E()Xi+103，E()X8 9.8.命题研究命题研究 63下半月（高中版）2022年第10期（总第272期）参考文献：1 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）M.北京：人民教育出版社，2020.2 章建跃.核心

44、素养立意的高中数学课程教材教法研究M.上海：华东师范大学出版社，2021.3 高慧明.高考数学命题规律与教学策略M.福州：福建教育出版社，2016.4 曲巍，王锐，吴丽华.2021年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析J.中国数学教育（高中版），2021（9）：38-44.5 周远方，李冉，徐新斌.2020年高考“计数原理、概率与统计”专题命题分析J.中国数学教育（高中版），2020（11）：31-40.6 龙正武，陈星春.近三年概率统计内容的高考特点及相关教学思考J.数学通报，2018，57（11）：31-34.7 覃创，彭乃霞.2020年全国卷高考数学的评价研究：基于高考评价体系J.数

45、学通报，2021，6（3）：25-28，32.8 王雅琪.谈高考中概率与统计的考查：以高考数学北京卷为例J.数学通报，2016，55（4）：42-46.AC.连接 BC，BC，只需证明ABC ABC.CBACBA图6再连接 AA，BB，CC.因为 AB AB，AB=AB，AC AC，AC=AC，所以四边形 AABB 和四边形 AACC 都是平行四边形.所以 AA BB且 AA=BB，AA CC且 AA=CC.所以 BB CC且 BB=CC.所以四边形 BBCC 是平行四边形.所以 BC=BC.所以ABC ABC.所以 BAC=BAC.最后，类比上述证明过程，让学生自主探究空间等角定理的证明方法

46、.然而，从课堂反馈来看，教学效果并不理想.一方面，虽然笔者不断引导学生构建证明问题的思路，但是基本上都是自问自答，学生很少响应；另一方面，由于这个证明的过程花费时间较多，导致能够用于空间等角定理生成的时间较少，没有充分的时间展开后面的教学环节.在评课环节，专家也指出了这个问题：该证明方法并非初中学生所学的平面等角定理的证明方法，尽管能够证明平面等角定理，但是并非最优选择.这也暴露出笔者在没有深入研究初、高中相关内容的区别与联系的情况下，强行植入“创造”的证明方法，没有真正领会类比的精髓.为了类比而类比，无疑加重了学生的学习负担.这个问题值得深刻反思.事实上，空间等角定理是平面等角定理的推广，两

47、者既有联系也有差异.在内容上，虽然两者都是“如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补”，但是平面等角定理强调的是二维平面，空间等角定理强调的是三维空间.在证明方法上，虽然两者都是把四种情况（图5）化归为一种情况（图5（a），但是平面等角定理是连接两个角的顶点构造同位角来解决，空间等角定理是连接两个角的顶点及对应边的点构造三棱柱进行处理.总之，基于学生直观想象素养的发展，教师要认真研究教材、研究学生、研究技术、研究教学，合理设计教学过程，引导学生积极参与到教学活动中去，让学生在收获知识的同时，发展数学核心素养.参考文献：1柳军，安振亚.从一道几何题谈直观想象素养的落实J.中国数学教育（初中版），2021（5）：56-59.2 戴丽云，谢惠良.表象直感想象：形象思维能力培养的教学研究J.小学数学教育，2014（12）：9-12.3 冯静，许亚桃，吴立宝.高中生直观想象素养的形成机制研究J.内江师范学院学报，2020，35（8）：27-31，35.（上接第46页）命题研究 64