1、单元质检二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合M=x|2x-11,xR,N=x|log12x0,2x,x0,若f(a)=12,则实数a的值为()A.-1B.2C.-1或2D.1或-2答案:C3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)内单调递增的是()A.y=-1xB.y=-x2C.y=e-x+exD.y=|x+1|答案:C4.已知函数f(x)的定义域为R.当x12时,fx+12=fx-12,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案:D5.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),若f(x)在区间0,1
2、上单调递增,则f-32,f(1),f43的大小关系为()A.f-32f(1)f43B.f(1)f-32f43C.f-32f43f(1)D.f43f(1)f-32答案:C解析:定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),f(x+2)=f(x).f-32=f-32+2=f12,f43=f43-2=f-23=f23.f(x)在区间0,1上单调递增,f12f23f(1).f-32f431,所以01ex+11,所以-11-2ex+10时,f(x)0,故排除B.因为f(4)=4324+2-426224=2,f(8)=8328+2-8f(8),故排除C.故选A.10.已知g(x)是R上的奇函数
3、,当x0),若f(2-x2)f(x),则实数x的取值范围是()A.(-,1)(2,+)B.(-,-2)(1,+)C.(1,2)D.(-2,1)答案:D解析:由题意,当x0时,g(x)=-g(-x)=ln(1+x),故函数f(x)=x3(x0),ln(1+x)(x0),因此当x0时,f(x)=x3为单调递增函数,值域为(-,0.当x0时,f(x)=ln(1+x)为单调递增函数,值域为(0,+).所以函数f(x)在区间(-,+)内单调递增.因为f(2-x2)f(x),所以2-x2x,解得-2x0.由当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=45,故y1+y2=20
4、x+45x220x45x=8,当且仅当20x=45x,即x=5时取等号,故选A.12.设minm,n表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)=x2+8x+14,g(x)=min12x-2,log24x(x0).若x1-5,a(a-4),x2(0,+),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的最大值为()A.-4B.-3C.-2D.0答案:C解析:由题意得g(x)=log24x,0x0,且a1)在区间(-1,+)内是增函数,则p是q的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)答案:充要条件解析:由p成立,得a1;由q成立,得a1.故&
5、#1051729;p成立时a1,即p是q的充要条件.14.函数f(x)=log3(8x+1)的值域为.答案:(0,+)解析:由指数函数的性质可知8x0,所以8x+11.据此可知f(x)=log3(8x+1)0,所以函数的值域为(0,+).15.已知函数f(x)=9x-a3x的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=.答案:12解析:f(x)=9x-a3x的图象关于原点对称,函数f(x)是奇函数,f(0)=0,得a=1.g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,g(-x)=g(x)对任意的x都成立,lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1
6、)+bx,lg10x+110x=lg(10x+1)+2bx,-x=2bx对一切x恒成立,b=-12,a+b=12.16.已知f(x)=x2,x0,-x2,x0,若对任意xt,t+2,不等式f(x+t)2f(x)恒成立,则t的取值范围是.答案:2,+)解析:(方法一)对任意xt,t+2,不等式f(x+t)2f(x)恒成立,f(t+t)=f(2t)2f(t).当t0时,f(2t)=-4t22f(t)=-2t2,这不可能,故t0.当xt,t+2时,有x+t2t0,xt0,当xt,t+2时,不等式f(x+t)2f(x),即(x+t)22x2,x+t2x,t(2-1)x对于xt,t+2恒成立.t(2-1
7、)(t+2),解得t2.(方法二)当x0时,f(x)=-x2单调递增,当x0时,f(x)=x2单调递增,f(x)=x2,x0,-x2,x0,且a1)的图象过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.解:(1)由f(8)=2,f(1)=-1,得m+loga8=2,m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-1+log2(x-1)=log2x2x-1-1(x1).因为x2x-1=(x
8、-1)2+2(x-1)+1x-1=(x-1)+1x-1+22(x-1)1x-1+2=4,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,等号成立,函数y=log2x在区间(0,+)内单调递增,所以log2x2x-1-1log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间2,3上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x.(1)求a,b的值;(2)若当x-1,1时不等式f(2x)-k2x0有解,求实数k的取值范围.解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因为a0,所以g(x)在区间2,3上是增函数,故g(2)=1,g(
9、3)=4,解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k2x0可化为2x+12x-2k2x,可化为1+12x2-212xk.令t=12x,则kt2-2t+1.因为x-1,1,所以t12,2.记h(t)=t2-2t+1,t12,2,因为t12,2,所以h(t)max=1.所以k1,即实数k的取值范围是(-,1.19.(12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两个城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=42a-6,乙城市收益Q
10、与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,80a120,32,120a160.设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司的总收益;(2)试问:如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司总收益最大?解:(1)若投资甲城市128万元,则投资乙城市112万元,所以f(128)=42128-6+14112+2=88.故此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知,若投资甲城市x万元,则投资乙城市(240-x)万元,依题意得x80,240-x80,解得80x160,当80x120,即120240-x160时,f(x)=42x-6+3
11、2=42x+260,故f(x)的最大值为88.故当投资甲城市128万元,投资乙城市112万元时,才能使公司总收益最大,且最大总收益为88万元.20.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=t+22处取得最小值-t24(t0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)在区间-1,12上的最小值为-5,求此时t的值.解:(1)设f(x)=ax-t+222-t24(a0).因为f(1)=0,所以(a-1)t24=0.又因为t0,所以a=1,所以f(x)=x-t+222-t24(t0).(2)因为f(x)=x-t+222-t24(t0),所以当t+22-1,即t12,即t
12、-1时,f(x)在区间-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).综上所述,可得t=-92.21.(12分)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).(1)当a=12时,求函数f(x)的定义域;(2)当a1时,求关于x的不等式f(x)m对任意实数x1,3恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)当a=12时,f(x)=log1212x-1,故12x-10,解得x1),定义域为(0,+),易知f(x)在区间(0,+)内为增函数,由f(x)0,xm对任意实数x1,3恒成立,故m0时,f(x)0,且f(1)=-2.(1)判断f(x)
13、的奇偶性;(2)求f(x)在区间-3,3上的最大值;(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)f(ax)+4.解:(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意xR恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2(-,+),且x10.f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)0,f(x2)f(x2).f(x)在区间(-,+)内是减函数.对任意x-3,3,恒有f(x)f(-3).f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-23=-6,f(-3)=-f(3)=6,f(x)在区间-3,3上的最大值为6.(3)f(x)为奇函数,整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)f(ax)+f(-2).f(ax2-2x)ax-2,即(ax-2)(x-1)0.当a=0时,x(-,1);当a=2时,xxR|x1;当a0时,xx2ax1;当0a2a或x2时,xxx1.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-,1);当a=2时,原不等式的解集为xR|x1;当a0时,原不等式的解集为x2ax1;当0a2a或x2时,原不等式的解集为xx1.