1、山西省大同四中联盟体2020届高三数学3月模拟考试试题 文（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别计算集合，集合，再求.【详解】由，得，即，由，得，所以，所以，所以.故答案选B【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题.2.若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】将z分离出来得到，然后分子分母同乘以，化简即可得到答案.【详解】，则复平面内对应
2、的点位于第一象限.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题.3.已知圆，直线，若圆上总存在到直线的距离为的点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得圆心到直线的距离，然后解出即可【详解】若圆上只有一点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为，故要使圆上总存在到直线的距离为的点，则圆心到直线的距离，即，即.故选：B【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及点到直线距离公式的应用，较简单.4.张丘建算经卷上第22题“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则
3、该女子织布每天增加（ ）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】B【解析】试题分析：由题可知女子每天织布尺数呈等差数列，设为，首项为，可得，解之得.考点：等差数列的性质与应用.5.已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由直线与双曲线无公共点可得，然后即可求出的范围【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有，即，所以，所以所以的范围为故选：B【点睛】本题考查的是双曲线的渐近线及离心率的求法，较简单.6.某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品
4、表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，得到该几何体是由两个圆锥组成的组合体，根据几何体的表面积公式，即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是由两个圆锥组成组合体，其中圆锥的底面半径为3，高为4，所以几何体的表面为.选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.在中，则( )A B.
5、C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】先由求出，然后得到，然后用余弦定理求出【详解】，所以，所以或，当时，由余弦定理可得，同理，时，.综上：或故选：D【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，属于基础题.8.从某中学抽取名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这名学生的阅读量判断正确的为( )A. 的值为B. 平均数约为C. 中位数大约为D. 众数约为【答案】C【解析】【分析】先由所有矩形面积和为1求出，然后即可算出平均数、中位数和观察出众数，从而选出答案【详解】由，解得，故A错；由A可知，所以平均数为，故B错误；居民月用电量在的频率为，
6、居民月用电量在的频率为：，这户居民月用电量的中位数大约为，故C正确；由频率分布直方图可知，众数大约为，故D错误.故选：C【点睛】本题考查的是频率分布直方图的知识，较简单.9.已知椭圆左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的最小值为，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当最小且最大时取得最小值，即有，从而求出离心率.【详解】由，得，当最小且最大时，取得最小值，所以，所以，所以离心率.故选：C【点睛】本题考查的是椭圆的几何性质及离心率的求法，较简单.10.已知，则取得最小值时的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将变为，然后利用基本不等
7、式求解【详解】，当且仅当，即时等号成立，所以=.故选：C【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换及利用基本不等式求最值，属于中档题.11.已知函数的图象在处的切线与直线垂直.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中的值可以为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由函数的图象在处的切线与直线垂直求出，然后可得，即得，然后可得出【详解】，则的图象在处的切线斜率，由于切线与直线垂直，则有，则，所以，所以，所以，由于输出的的值为，故总共循环了次，此时，故的值可以为.故选：B【点睛】本题考查的知识点有：导数的几何意义、两直线的位置关系、数列的求和及程序框图，属于综合题.12.
8、已知函数为上的奇函数，且满足，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数为上的奇函数，且满足可得出的周期为，然后，即可求出【详解】由为上的奇函数，且，得，故函数的周期为，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查的是函数的奇偶性和周期性，属于常考题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，满足约束条件，若目标函数的最大值与最小值分别为，则_【答案】【解析】【分析】先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最值即可得解.【详解】解：，满足约束条件的可行域如图，由得；由得，将目标函数化为，由图可知，当直线经过点时目标函数取得最小值，所以；当直线经过点时目标
9、函数取得最大值，所以，所以有.【点睛】本题考查了简单的线性规划，属基础题.14.，的夹角为，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】由向量模的运算及数量积运算可得，再由向量的夹角公式运算可得解.【详解】解：，所以，设与的夹角为，则，又因，所以.【点睛】本题考查了两向量的夹角，属基础题.15.在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】分析】先用正弦定理求出外接圆的半径，然后利用求出三棱锥外接球的半径，即可算出表面积.【详解】设外接圆的半径为，则，设三棱锥外接球的半径为，则，故外接球的表面积.故答案为：【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质
10、，求得三棱锥的外接球的半径是解题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.16.已知点到直线的最大距离为，则_.【答案】或【解析】【分析】先用距离公式表示出，然后分两种情况讨论即可【详解】点到直线的距离，当时，所以；当时，所以.综上，或.故答案为：或【点睛】本题考查了点到直线的距离公式及三角函数的知识，较简单.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在正项等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前100项的和.【答案】（1）；（2）5050.【解析】【分析】（1）根据题意，求得首项和公比，即可得到数列的通项公式；（2）由
11、（1）求得，写出数列的前100项的和，即可求解.【详解】（1）设公比为，则由题意可知又，解得，所以.（2）由（1）可得，则数列的前100项的和.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的分组求和的应用，其中解答中熟记等比数列的基本量的运算，以及合理分组求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.新高考最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生，女生各人进行模拟选科.经
12、统计，选择全理的人数比不选全理的人数多人.（1）请完成下面的列联表；（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；（3）现从这名学生中已经选取了男生名，女生名进行座谈，从中抽取名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率.附：，其中.【答案】（1）列联表见解析；（2），理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意直接完成表格即可（2）算出即可（3）设名男生分别为，两名女生分别为，然后列出所有的基本事件和不包含女生的基本事件即可【详解】（1）依题意可得列联表：（2），的把握认为选择全理与性别有关.（3）设名男生分别为，两名女生分别为，.从名学生中抽取名学生所有的可能为，共种，不包含
13、女生的基本事件有，共种，故所求概率.【点睛】1.本题主要考查了列联表、的计算和古典概型，属于常见题型.2. 当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单，即先求出此事件的对立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.19.如图，已知四棱锥中，平面，为等边三角形，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分别证明和即可（2）先求出，然后利用求出点到平面的距离，即可得点到平面的距离【详解】（1）平面，平面，是的中点，又，平面.（2），平面，平面，.同理在中，在梯形中，易得.所以等腰底边上的高为，所以，又，平面，平面，点到
14、平面的距离等于点到平面的距离，.设点到平面的距离为，则由，得，所以.点为的中点，点到平面的距离为.【点睛】等体积法是求点到平面的距离的常用方法.20.已知抛物线，其焦点为，直线过点与交于、两点，当的斜率为时，.（1）求的值；（2）在轴上是否存在一点满足（点为坐标原点）？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；（2）存在，.【解析】【分析】（1）设，联立直线与抛物线的方程可得到，进而表示出，即可求出（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得到，然后条件可转化为，即，运用此式可得到【详解】（1），当直线的斜率为时，其方程为，设，由，得，把代入抛物线方程得，所以，所以，所以.
15、（2）由（1）可知，抛物线，由题意可知，直线的斜率存在，设其方程为，将其代入抛物线方程为，则，假设在轴上存在一点满足，则，即，即，所以，即，由于，所以，即，即在轴上存在点满足.【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21.已知函数，（1）设函数，若是函数的唯一极值点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个零点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出，然后由函数有唯一极值点可得，即，然后求出的最小值即可（2）由条件可得，然后即证，设，即证，然后令，则，即证【详解】由，可得，函数有唯一极值点，即恒成立
16、，设，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.（2），是函数的两个零点，.要证，即证.设，则等价于，即证，令，且，即证，则，则,令，则，故在上单调递增，故，所以函数在上单调递增，所以.即对任意恒成立，所以.【点睛】1.函数的恒成立问题一般是转化为最值问题2.一个比较复杂的式子要善于观察其特点，通过换元把它变简单.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程；（2）
17、已知，直线与曲线C交于P，Q两点，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用将极坐标方程化为普通方程；(2) 将直线的参数方程代入的普通方程,利用韦达定理求出，结合直线参数方程中参数的几何意义将化为，即可求出的最大值.【详解】（1），即.（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，得，则，所以，所以，即的最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标与普通方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，考查了计算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)分类讨论的值，去掉绝对值，即可求解该不等式；(2)根据绝对值三角不等式求出的最大值，解出不等式的解集即可得出的取值范围.【详解】（1）当时，原不等式可化为，无解；当时，原不等式可化为，从而；当时，原不等式可化为，从而.综上，原不等式的解集为. （2）由得，又，所以，即，解得，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了不等式选讲的内容，解决含绝对值的不等式是一般采用零点分段法，去掉绝对值来求解，属于中档题.