1、高三文科数学月考试题一、选择题1. 已知集合A=x|x2+x-20,B=y|y=2x,xR,则AB等于()A. (0,1 B. 1,+) C. (0,2 D. 【答案】A【解析】因为x2+x-20,所以-2x1,根据指数函数的性质知y=2x0,所以集合A=,B=,则AB=,故选A.2. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,周期为2,则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的()A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 充要条件【答案】D【解析】函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用
2、周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.3. 下列结论中正确的个数是()“x=”是“”的充分不必要条件;若ab,则am2bm2;命题“xR,sinx1”的否定是“xR,sinx1”;函数f(x)=-cosx在0,+)内有且仅有两个零点. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】对于,当x=时,sin,充分性成立;当sin时,x+2k或x+2k,kZ,得x=-+2k或x=+2k,kZ,故必要性不成立,故正确;对于,当m=0时,若ab,am2bm2不成立,故不正确;对于,命题“xR,sinx1”的否定是“x0R,sinx01”,
3、故不正确;对于,函数y=与y=cosx的图象有且只有一个交点,故函数f(x)=-cosx在内有且仅有一个零点,故不正确.综上,正确的只有一个,故选A.4. 下列函数中,既是奇函数又在(0,+)上单调递增的函数是()A. y=ex+e-x B. y=ln(|x|+1) C. y= D. y=x-【答案】D【解析】A,B选项中的函数为偶函数,排除,C选项中的函数是奇函数,但在(0,+)上不是单调递增函数.故选D.5. 设函数f(x)=ln(1+x2)-,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：当时，是增函数，又是偶函数，由，故选A.考
4、点：函数的奇偶性；函数的单调性6. 若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:P,Q都在函数y=f(x)的图象上;P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有()A. 3对 B. 2对 C. 1对 D. 0对【答案】C【解析】设f(x)=(x0)图象上任一点为A(x,y)(x0,y0),点A关于原点的对称点A(-x,-y)在y=x+1上,所以-y=-x+1,即y=x-1,得“友好点对”的个数就是方程组的根的个数,而y=x-1(x0)的图象与y的图象有且只有一个交点,“友好点
5、对”共1对,故选C.7. 设函数,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若是偶函数,而不一定是奇函数,故的图象不一定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,则是偶函数,因此“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件.故选B.8. 关于函数y=2sin+1,下列叙述有误的是()A. 其图象关于直线x=-对称B. 其图象可由y=2sin+1图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到C. 其图象关于点对称D. 其值域为-1,3【答案】C9. 已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,
6、且=0,则ABC的面积为()A. 1+ B. C. 1+ D. 【答案】D【解析】.由=0得=-,两边平方可得=0,则AOB=90;由=0得=-,两边平方可得=,则AOC=135;同理可得BOC=135,则ABC的面积为SAOB+SBOC+SAOC=,故选D.10. 已知向量a=(cos,-sin),b=(-cos2,sin2)(,2),若向量a,b的夹角为,则有()A. = B. =- C. =- D. =-2【答案】C【解析】由题意知cos=-()=-cos=cos(-).因为(,2),所以-(0,),而0,所以=-,故选C.11. 已知数列,都是公差为1的等差数列，是正整数，若，则()A
7、. 81 B. 99 C. 108 D. 117【答案】D【解析】试题分析：由题意可设，则 故正确选项为D考点：等差数列的运用【方法点睛】题中已知条件说明数列是连续的自然数列，且首项为正数，据此便可假设数列的首相以及通项，同时也能得出的首项以及通项；本题也可等差数列性质直接先求，然后累加求和12. 已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当,当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,即.二、填空题13. 设的内角,所对的边长分别为,若,则的值为_.【答案】4【解析】
8、由正弦定理可得=,又因为=,所以=,即,所以.14. 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=_.【答案】【解析】3sinA5sinB，3a5b.又bc2a，由可得，ab，cb.cosC.C.15. 已知在中，则的值为_.【答案】.16. 已知数列an满足a1=33，an+1-an=2n，则的最小值为_.【答案】【解析】由已知可得an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),a3-a2=22,a2-a1=21,左右两边分别相加可得an-a1=2(1+2+3+(n-1)=n(n-1),an=n2-n+33.=n+-1,
9、令F(n)=n+-1,n5时为减函数,n6时为增函数且F(5)F(6),F(n)F(6)=,故的最小值为.三、解答题17. 已知函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx.(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若x,求函数g(x)的值域;(2)已知a,b,c分别为ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=+1,A,a=2,b=2,求ABC的面积. 【答案】（1）0,3；（2）2.【解析】【试题分析】（1）先运用三角变换公式中的余弦二倍角公式进行化简，再借助正弦函数的图像的变换得到g(x)，然后求g(x)的值域；（2）先借助题设条件求出A的正弦与余弦，然后运
10、用余弦定理求出边c，最后求出三角形的面积.解：(1) f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx=cos2x-sin2x+2sin2x+2sinx=cos2x+sin2x+2sinx=1+2sinx,所以f(2x)=1+2sin2x.因为函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,所以g(x)=2sin+1,即g(x)=2sin+1.因为x,所以2x所以sin,所以g(x)0,3,所以函数g(x)的值域为0,3.(2) 因为f(A)=+1,所以sinA=,因为A,所以cosA=.又cosA=,a=2,b=2,所以c=4.所以ABC面积SABC=bcsinA=2.18. 已知数
11、列an满足a1=,an+1=3an-1(nN*).(1)若数列bn满足bn=an-,求证:bn是等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn. 【答案】（1）见解析；（2）。【解析】【试题分析】（1）先依据题设得到an+1=3(nN*),从而有bn+1=3bn,b1=a1-=1,然后运用等比数列的定义分析推证；（2）先借助（1）的结论及题设条件求出Sn=30+3+3n-1+，然后运用等比数列的前n项和求解.解：(1) 由题可知an+1=3(nN*),从而有bn+1=3bn,b1=a1-=1,所以bn是以1为首项,3为公比的等比数列.(2) 由第1问知bn=3n-1,从而an=3n-1+,有Sn=3
12、0+3+3n-1+=30+31+32+3n-1+n=.19. 正项数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和为. 【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）将变形可得到通项公式，由各项均是正数，因此通项公式为（2）由代入可得到数列的通项公式，因此采用裂项相消法求和试题解析：（1）（2）考点：数列求通项求和20. 已知三棱锥A-BCD中,ABC是等腰直角三角形,且ACBC,BC=2,AD平面BCD,AD=1.(1)求证:平面ABC平面ACD;(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离. 【答案】（1）见证明过程；（2）。【解析】试题分析：（1）通过，可证得平面，又平面，
13、利用面面垂直的判定定理可得证.(2) 利用等体积法，解得.试题解析（1）证明：因为平面平面，所以，又因为，所以平面平面，所以平面平面. （2）由已知可得，取中点为，连结，由于，所以为等腰三角形，从而，由（1）知平面所以到平面的距离为1，令到平面的距离为，有，解得.点晴：本题考查的是空间的线面关系和空间多面体体积的求解.第一问要考查的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的判定定理，可证得；对于第二问点到平面的距离利用等体积法，解得.21. 已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线
14、的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论. 【答案】（1）；（2）是定值为2。【解析】试题分析：(1)由焦点坐标可得，又以椭圆短轴为直径的圆经过点可得，所以可求出，从而得到椭圆方程；(2)当的斜率不存在时，求出点的坐标，再计算，当存在斜率时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得到，,计算即可.试题解析： （1）依题意，由已知得，由已知易得，解得，则椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，由，解得.设，则为定值.当直线的斜率存在时，设直线的方程为.将代入整理化简，得.依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，又，所以综上得为定值2.考点：1.椭圆的定义与性质；2.直线与椭圆的位置关系.
15、22. 在中,角所对的边分别为,且.【答案】(1)；（2）.【解析】【试题分析】（1）先正弦定理将已知,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出，然后运用余弦二倍角求出，进而运用平方关系求出.解：(1) ,.(2) 在中,由正弦定理:,得,.(1)求的大小;(2)设的平分线交于,求的值.参考答案1. 【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算、解一元二次不等式及求指数函数的值域,属于基础题.因为x2+x-20,所以-2x1,根据指数函数的性质知y=2x0,所以集合A=,B=,则AB=,故选A.2. 【答案】D【解析】本题考查充分条件与必要条件,函数的奇偶性与周期性,属于中档题.函数在上递增
16、,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.3. 【答案】A【解析】本题考查充分必要条件、不等式性质、命题的否定及命题真假的判定,属于中档题.对于,当x=时,sin,充分性成立;当sin时,x+2k或x+2k,kZ,得x=-+2k或x=+2k,kZ,故必要性不成立,故正确;对于,当m=0时,若ab,am2bm2不成立,故不正确;对于,命题“xR,sinx1”的否定是“x0R,sinx01”,故不正确;对于,函数y=与y=cosx的图象有且只有一个交点,故函数f(
17、x)=-cosx在内有且仅有一个零点,故不正确.综上,正确的只有一个,故选A.4. 【答案】D【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性知识,属于基础题.A,B选项中的函数为偶函数,排除,C选项中的函数是奇函数,但在(0,+)上不是单调递增函数.故选D.5. 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性及导数在研究函数中的应用,解一元二次不等式、绝对值不等式,属于难题.f(-x)=ln=ln=f(x),函数f(x)为偶函数.当x0时,f(x)=ln(1+x2),求导得f(x)=恒为正,即函数f(x)在单调递增,f(x)是偶函数,f(x)在(-,0)上单调递减,则f(x)f(2x-1)等价于f(|x|)f(
18、|2x-1|),即|x|2x-1|,平方得3x2-4x+10,解得x0)图象上任一点为A(x,y)(x0,y0),点A关于原点的对称点A(-x,-y)在y=x+1上,所以-y=-x+1,即y=x-1,得“友好点对”的个数就是方程组的根的个数,而y=x-1(x0)的图象与y的图象有且只有一个交点,“友好点对”共1对,故选C.7. 【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查图象的对称性.若是偶函数,而不一定是奇函数,故的图象不一定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,则是偶函数,因此“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件.故选B.8. 【答案】C【解析】本题考查三角函
19、数的性质、图象变换,属于中档题.关于函数y=2sin+1,令x=-,求得y=-1,为函数的最小值,故A正确;由y=2sin+1图象上所有点的横坐标变为原来的倍,可得y=2sin+1的图象,故B正确;令x=,求得y=1,可得函数的图象关于点对称,故C错误;函数的值域为-1,3,故D正确.故选C.9. 【答案】D【解析】本题考查向量的运算.由=0得=-,两边平方可得=0,则AOB=90;由=0得=-,两边平方可得=,则AOC=135;同理可得BOC=135,则ABC的面积为SAOB+SBOC+SAOC=,故选D.10. 【答案】C【解析】本题考查向量的夹角、向量的坐标运算、二倍角、同角三角函数的基
20、本关系、诱导公式.由题意知cos=-()=-cos=cos(-).因为(,2),所以-(0,),而0,所以=-,故选C.11. 【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，考查计算能力.,.故选D.12. 【答案】A【解析】本题考查分段函数导函数的应用，函数与方程的关系.=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当,当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,即.13. 【答案】4【解析】本题考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式,考查计算能力.由正弦定理可得=,又因为=,所以=,即,所以.14. 【答案】【解析】本题考查正弦定理及余弦定理.由正弦定理得,5b=3a,又b+c=2a,则，由余弦定理得，又，所以.15. 【答案】【解析】本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量数量积.在中，建立直角坐标系,依题意有D,E(2,0)得，得，故填.16. 【答案】【解析】由已知可得an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),a3-a2=22,a2-a1=21,左右两边分别相加可得an-a1=2(1+2+3+(n-1)=n(n-1),an=n2-n+33.=n+-1,令F(n)=n+-1,n5时为减函数,n6时为增函数且F(5)F(6),F(n)F(6)=,故的最小值为.17.18.20.21.22.