1、章末综合测评(三)导数及其应用(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)1.质点运动规律st23，则在时间(3,3t)中，质点的平均速度等于_.【解析】平均速度为6t.【答案】6t2.若f(x0)3，则当h0时，趋于常数_.【解析】4.f(x0)3，当h0时，趋于3，故当h0时，趋于12.【答案】123.已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.若f(1)3，则a的值为_.【解析】f(x)aa(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.【答案】34.已知曲
2、线f(x)x22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是_.【解析】f(x)2x2，由f(x)0得x1，又f(1)1223，点M的坐标为(1，3).【答案】(1，3)5.函数yxex在其极值点处的切线方程为_.【解析】由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.【答案】y6.下列结论(sin x)cos x；(log3x)；(x2)；，其中正确的有_(填序号).【解析】由于(sin x)cos x，故错误；由于，故错误；由于(log3x)，故错误；由于x22x，故错误；由于，所以正确.【答案】7.函数yxsin x
3、cos x在(，3)内的单调增区间是_.【解析】yxsin xcos x，yxcos x，令yxcos x0，且x(，3)，cos x0，且x(，3)，x，函数yxsin xcos x在(，3)内的单调增区间是.【答案】8.函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_.【解析】f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，当0x时，f(x)0，f(x)故上单调递增.f(x)的最大值在x处取得，fe，f(x)的最小值在x0处取得，f(0).函数值域为.【答案】9.若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_.【解析】由题意可
4、知f(x)x0，在x(1，)上恒成立，即bx(x2)在x(1，)上恒成立，由于yx(x2)在(1，)上是增函数且y(1)1，所以b1.【答案】(，110.如图1，是yf(x)的导函数的图象，现有四种说法：f(x)在(2，1)上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(1,2)上是增函数；x2是f(x)的极小值点.以上说法正确的序号是_(填序号).图1 【解析】由函数的图象可知：f(2)0，f(1)0，f(x)在(2，1)上是减函数，不正确；x1时f(1)0，函数在(3，1)递减，在(1,2)单调递增，所以x1是f(x)的极小值点，所以正确；f(x)在(1,2)上f(x)0，所以函数在(1
5、,2)上是增函数，所以正确；函数在(1,2)单调递增，在(2,4)单调递减，所以x2是f(x)的极大值点，所以不正确.【答案】，11.已知f(x)x33x22xa，若f(x)在R上的极值点分别为m，n，则mn的值为_.【解析】f(x)x33x22xa，f(x)3x26x2，f(x)在R上的极值点分别为m，n，则m，n为f(x)0的两个根，根据韦达定理可得，mn2，mn的值为2.【答案】212.若a2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有_个零点.【解析】f(x)x22axx(x2a)，由f(x)0，得x0或x2a，又a2，2a4.当x(0,2)时，f(x)0，此时f(x)单调递减
6、，又f(0)1，f(2)4a14a，由a2知f(2)0，函数f(x)在(0,2)上只有1个零点.【答案】113.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则f(0)f(2)与2f(1)的大小关系为_. 【解析】依题意，当x1时，f(x)0，函数f(x)在(1，)上是增函数；当x1时，f(x)0，f(x)在(，1)上是减函数，故当x1时，f(x)取得极小值也为最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，f(0)f(2)2f(1).【答案】f(0)f(2)2f(1)14.已知函数f(x)x3x22xm的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是_.【解析】f(x)x2x2.令f(
7、x)0，解得x2或1，则f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)上单调递增，x1是极小值点.f(x)的图象不经过第四象限，即当x0时，f(x)0.f(1)2m0，m.【答案】m二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值.【解】(1)y3ax22bx，当x1时，y|x13a2b0，y|x1ab3，即，解得：a6，b9. (2)由(1)得y6x39x2，y18x218x，令y0，得x0，或x1当x1或x0时，y0，函数在(，0)，(1，)内单调
8、递减；当0x1时，y0，函数在(0,1)单调递增.y极小值y|x00.16.(本小题满分14分)已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间1,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【解】(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1或x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，).(2)f(2)81218a22a.因为f(x)在区间1,2上f(x)0，所以f(x)在区间1,2上单调递增，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间1,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2.故f(x)x33x29x2，因此f(1)1392
9、7，即函数f(x)在区间1,2上的最小值为7.17.(本小题满分14分)设函数f(x)ln xln(2x)ax(a0). (1)当a1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值.【解】函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(1)当a1时，f(x)，令f(x)0，得x或x(舍去)所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2).(2)当x(0,1时，f(x)a0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.18.(本小题满分16分)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20
10、 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？【解】设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40k203，k，则总费用f(x)(kx3400)aa(0x100).由f(x)0，得x20.当0x20时，f(x)0，f(x)单调递减；当20x100时，f(x)0，f(x)单调递增.当x20时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少.19.(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)(xa).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(
11、x)在区间0,2上的最小值，试写出g(a)的表达式. 【解】(1)由题意知函数的定义域为0，)，f(x)(x0)若a0，则f (x)0，故f(x)有单调递增区间0，)；若a0，令f (x)0，得x.当0x时，f (x)0，当x时，f (x)0.故f(x)有单调递减区间，单调递增区间. 由于函数在某一点处没有增减性， 故函数的单调区间的情况为： 若a0，f(x)有单调递增区间0，)；若a0，f(x)有单调递减区间，单调递增区间. (2)若a0，f(x)在0,2上单调递增，所以g(a) f(0)0. 若0a6，f(x)在0， 上单调递减，在上单调递增，所以g(a)f.若a6，f(x)在0,2上单调
12、递减，所以g(a)f(2)(2a).综上所述，g(a)20.(本小题满分16分)设函数f(x)a(x1)2ln(x1)bx(x1)，曲线yf(x)过点(e1，e2e1)，且在点(0,0)处的切线方程为y0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x0时，f(x)x2；(3)若当x0时，f(x)mx2恒成立，求实数m的取值范围.【解】(1)f(x)2a(x1)ln(x1)a(x1)b，f(0)ab0，f(e1)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，a1，b1.(2)f(x)(x1)2ln(x1)x，设g(x)(x1)2ln(x1)xx2，(x0)，g(x)2(x1)ln(x1)x，(g(x)2ln(
13、x1)10，g(x)在0，)上单调递增，g(x)g(0)0，g(x)在0，)上单调递增，g(x)g(0)0.f(x)x2.(3)设h(x)(x1)2ln(x1)xmx2，h(x)2(x1)ln(x1)x2mx，由(2)中知(x1)2ln(x1)x2xx(x1)，(x1)ln(x1)x，h(x)3x2mx，当32m0即m时，h(x)0，h(x)在0，)单调递增，h(x)h(0)0，成立.当32m0即m时，h(x)2(x1)ln(x1)(12m)x，h(x)2ln(x1)32m，令h(x)0，得x0e10，当x0，x0)时，h(x)h(0)0，h(x)在0，x0)上单调递减，h(x)h(0)0，不成立.综上，m.