1、单元质检八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;若mn,m,n,则.则假命题的个数为()A.4B.3C.2D.12.(2021浙江杭州二模)某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示,则该四棱锥的体积为()A.4B.83C.43D.13.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD平面ABCD,PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为()A.563B.643C.24D.8034
2、.(2021全国)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且ACBC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为()A.212B.312C.24D.345.如图,在三棱柱ABC-ABC中,E,F,H,K分别为AC,CB,AB,BC的中点,G为ABC的重心.从K,H,G,B中取一点,设为P,使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF平行,则P为点()A.GB.HC.KD.B6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N是棱BC的中点,点M在四边形DCC1D1内部运动(包括边界).设直线A1D1与直线MN所成的角为,则当MN平面BB1D1D时,tan 的取值范围为()A.1,2B.1,5C.2,3D
3、.3,5二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.如图,实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成,已知BC=EF= cm,AE=2 cm,BE=CF=4 cm,AD=7 cm,且AEEF,AD底面AEF.某工厂要将其铸成一个实心铁球,假设在铸球过程中原材料将损耗20%,则铸得的铁球的半径为cm.8.在三棱锥D-ABC中,已知AD平面ABC,且ABC为正三角形,AD=AB=3,点O为三棱锥D-ABC的外接球的球心,则点O到棱DB的距离为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,O分别为棱AC1,AB,A1C1的中点.
4、(1)求证:直线MN平面AOB1;(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为103,求三棱锥A-MON的体积.10.(15分)(2021四川成都外国语学校月考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,DE平面PBC,点E是PC的中点.(1)求证:平面PDC平面ABCD;(2)线段PA上是否存在一点F,使得三棱锥F-ABD的体积等于三棱锥P-BDE的体积?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.11.(15分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,E,F分别是CD边上的三等分点.将ADF,BCE分别沿AF,BE折起到ADF,BCE的位置,且使平面ADF底面ABCD,
5、平面BCE底面ABCD,连接DC.(1)证明:DC平面ABEF;(2)求点A到平面EFDC的距离.答案：1.B解析若ml,且m,则l是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行时,也会满足前面的条件;若,则是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的;若mn,m,n,则是错误的,平面和可以是任意的夹角.故选B.2.C解析该四棱锥的直观图如图所示,其一条侧棱垂直于底面且底面为正方形,其中高为2,底面正方形对角线的长度为2.则PA=2,AC=2,正方形ABCD的面积为2,所以该四棱锥的体积V=1322=43.3.B解析令PAD所在圆的圆心为O1,则易得圆O
6、1的半径r=233,因为平面PAD平面ABCD,所以OO1=12AB=2,所以球O的半径R=4+2332=43,所以球O的表面积=4R2=643.4.A解析ACBC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=22,由题意OO1平面ABC,在RtOO1C中,OO1=OC2-CO12=22,则三棱锥O-ABC的体积为13121122=212.5.A解析若P为点G,连接BC,则F为BC的中点,EFAB,EFAB.AB平面GEF,AB平面GEF.P为点G符合题意;若P为点K,则有三条侧棱和AB,AB与该平面平行,不符合题意.若P为点H,则有上下两底面中的六条棱与该平面平行,不符
7、合题意;若P为点B,则只有一条棱AB与该平面平行,也不符合题意,故选A.6.B解析取DC,D1C1的中点分别为P,Q,连接PQ,PN,QN,易证得平面PQN平面BB1D1D,故当点M在线段PQ上运动时,MN平面BB1D1D.因为A1D1BC,所以直线BC与直线MN所成的角即为直线A1D1与直线MN所成的角,所以MNC=.连接MC,显然NCMC.令正方体的棱长为2,PM=x,x0,2,则MC=x2+1,又CN=1,所以tan=x2+1,所以tan1,5.故选B.7.33解析设铸得的铁球的半径为rcm.由题意可得几何体的体积为1224+13122(7-4)=5,即5(1-20%)=43r3,解得r
8、=33.8.12解析设O为正三角形ABC的中心.作平面ODA交BC于点E,交BC于点F.设平面ODA截得外接球面是O,则D,A,F是O圆周上的点.又AD平面ABC,DAF=90.DF是O的直径.因此,球心O在DF上,球心O在平面ABC的射影在AF上,AF是O的直径.连接BD,BF,BFAD,BFAB,BF平面ABD.DBF=90.作OHBF交BD于点H,则OHBD.又DO=OF,OH是DBF的中位线.OH=12BF=12ABtanBAF=12333=12.9.(1)证明连接A1B交AB1于点P,连接NP,OP.则P是AB1的中点.N是AB的中点,NPBB1,且NP=12BB1.又M,O分别是A
9、C1,A1C1的中点,MOAA1,且MO=12AA1.AA1BB1,且AA1=BB1,MONP,且MO=NP,四边形MOPN为平行四边形,MNOP.又MN平面AOB1,OP平面AOB1,MN平面AOB1.(2)解由题意,得VA-MON=VN-AMO=12VN-AC1O=14VN-C1A1A=18VB-C1A1A.BB1平面AA1C1,VB-C1A1A=VB1-C1A1A,VB1-C1A1A=13VABC-A1B1C1=1033,VA-MON=181033=5312.10.解(1)因为DE平面PBC,BC平面PBC,所以DEBC.因为四边形ABCD是矩形,所以BCDC,又DEDC=D,所以BC平
10、面PDC.因为BC平面ABCD,所以平面PDC平面ABCD.(2)假设线段PA上存在一点F,使得VF-ABD=VP-BDE.因为点E为PC的中点,所以VP-BDE=VC-BDE=VE-BCD,所以VF-ABD=VE-BCD,因为SABD=SBCD,所以点E,F到平面ABCD的距离相等,所以EF平面ABCD,因为点E为线段PC的中点,所以点F是线段PA的中点.所以存在点F,且点F是线段PA的中点,使得三棱锥F-ABD的体积等于三棱锥P-BDE的体积.11.(1)证明分别过点D,C作AF,BE的垂线,垂足为M,N,连接MN.因为平面ADF平面ABEF,且平面ADF平面ABEF=AF,所以DM平面A
11、BEF,同理可证,CN平面ABEF,所以DMCN.因为ADFBCE,所以DM=CN.从而四边形DMNC为平行四边形,则DCMN.又DC平面ABEF,MN平面ABEF,所以DC平面ABEF.(2)解连接DD,DM.在RtDAF中,DF=AD=1,所以DM=22.因为SADF=12DFAD=1211=12,所以VD-ADF=13SADFDM=131222=212.设点A到平面EFDC的距离为h,因为DD=DM2+DM2=1,DF=DF=1,所以SDFD=34,所以VA-DFD=13SDFDh=1334h=312h.由VA-DFD=VD-ADF,得312h=212,所以h=63,故点A到平面EFDC的距离为63.