1、第二章学业水平达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1抛物线yx2的焦点坐标是()A. B(1,0)C. D(0,1)解析：方程yx2化为标准方程为x24y，其焦点在y轴正半轴上，且1，所以焦点坐标为(0,1)答案：D2已知椭圆与双曲线1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由已知椭圆的焦点为(，0)，c.又椭圆的离心率为，.a5.b2a2c220.所求椭圆的标准方程为1.答案：B3已知椭圆1的右焦点是双曲线1的右顶点，则双曲线的渐近线为()Ayx
2、ByxCyx Dyx解析：由已知双曲线的右顶点是(4,0)，a216.双曲线的渐近线为yx.答案：C4以椭圆1的右焦点为圆心，且与双曲线1的渐近线相切的圆方程是()Ax2y210x90 Bx2y210x90Cx2y210x90 Dx2y210x90解析：椭圆右焦点F(5,0)，双曲线渐近线方程为yx，则焦点F到yx的距离为4，所以圆的方程为(x5)2y216，即x2y210x90.答案：A5双曲线1(mn0)离心率为2，其中一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A.B.C.D.解析：抛物线y24x的焦点为(1,0)，mn1且e213，解得m，n.mn，故选A.答案：A6已知中心在
3、原点，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为yx，则此双曲线的离心率是()A. B. C. D5解析：由双曲线焦点在y轴上，设方程为1(a0，b0)，则渐近线方程为yxx，c2a2b25a2，e25，e.答案：B7以椭圆焦点F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于()A. B. C. D.解析：由已知，得bc，a2b2c22c2，e.答案：B8已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：先由双曲线的离心率建立字母之间的关系，再求渐近线方程由e，得，ca，ba.而1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所求渐近线方程为y
4、x.答案：C9若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2 C4 D4解析：椭圆右焦点为(2,0)，则2，p4.答案：D10过椭圆1内的一点P(2，1)的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是()A5x3y130 B5x3y130C5x3y130 D5x3y130解析：弦所在直线的斜率为，所以直线方程为y1(x2)，即5x3y130.答案：A11设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则A的坐标为()A(2,2) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：由已知F(1,0)，设A(x，y)，则(x，y)(1x，y)x(1x)y24，x
5、x2y24，4x23x0，解得x1或x4.x0，x1，y2，A(1，2)答案：B12已知P是双曲线1(a0，b0)右支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则双曲线的离心率为()A4 B. C2 D.解析：设PF1F2的内切圆半径为r，则由已知得|PF1|r|PF2|r|F1F2|r.|PF1|PF2|F1F2|，即2ac，e2.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|F1B|的值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)
6、，则由消去y，得3x24x0，解得x10，x2，易得A(0，1)，B.又F1(1,0)，|F1A|F1B|.答案：14已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_答案：15过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_.解析：直线方程为yx，由得x23px0.又|AB|8，p2.答案：216已知A、B是抛物线x24y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得xx4(y1y2)，1，直线AB方程是y2x2，即yx.由
7、得或|AB|4.答案：4三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)一个椭圆，其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为73，求椭圆和双曲线的方程解析：焦点在x轴上，椭圆为1，且c，设双曲线为1，ma4，易得a7，m3.椭圆和双曲线的焦距为2，b236，n24.椭圆方程为1，双曲线方程为1.焦点在y轴上，椭圆方程为1，双曲线方程为1.18(本小题满分12分)已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交
8、于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解析：(1)由已知得，c2，.解得a2.又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m.因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3,2)到直线AB：xy20的距离为d，所以PAB的面积S|AB|d.19(本小题
9、满分12分)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解析：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx，将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.方法
10、二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由2得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.20(本小题满分12分)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，虚轴的上端点是B，64，BAF150.(1)求双曲线的方程；(2)设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若20，求直线l的斜率解析：(1)由已知得：A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)(a，b)(ca,0
11、)a(ac)64，cosBAFcos150，ac，代入a(ac)64 ，得c2，a，b2c2a22，故双曲线的方程为1.(2)F的坐标为(2，0)，可设直线l的方程为yk(x2)令x0得y2k，即M(0，2k)设Q(m，n)，则由20，得(m，n2k)2(2m，n)(0,0)，即(4m,2kn)(0,0)，即1，1，k2，即k，故直线l的斜率为.21(本小题满分12分)已知ABC的顶点A、B在椭圆x23y24上，C在直线l：yx2上，且ABl，(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；(2)当ABC90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程解析：(1)因为ABl，且AB边
12、通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为yx.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由得x1，所以|AB|x1x2|2.又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h，SABC|AB|h2.(2)设AB所在直线的方程为yxm，由得4x26mx3m240.因为A，B在椭圆上，所以12m2640.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2所以|AB|x1x2|.又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|.因为|AC|2|AB|2|BC|2m22m10(m1)211，所以当m1时，AC边最长(这时12640)，此时AB所在直线的方程为
13、yx1.22(本小题满分12分)如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e.(1)求椭圆E的方程(2)求F1AF2的平分线所在直线l的方程(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由解析：(1)设椭圆E的方程为1，由e，即，得a2c，b2a2c23c2.椭圆的方程可化为1.将A(2,3)代入上式，得1，解得c2(负值舍去)，椭圆E的方程为1.(2)解法一：由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为y(x2)，即3x4y60，直线AF2的方程为x2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数设P
14、(x，y)为l上任一点，则|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(其斜率为负，故舍去)于是，由3x4y65x10得2xy10，直线l的方程为2xy10.解法二：A(2,3)，F1(2,0)，F2(2,0)，(4，3)，(0，3)(4，3)(0，3)(1,2)kl2，l：y32(x2)，即2xy10.(3)解法一：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)，BCl，kBC.设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y0，由于M在l上，故2x0y010.又B，C在椭圆上，有1与1.两式相减，得0，即0.将该式整理得0，并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点坐标代入该表达式中，得x0y00，即3x02y00.2得x02，y03，而BC的中点为点A，而这是不可能的不存在满足题设条件的相异两点解法二：假设存在B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线l对称，则lBC，kBC.设直线BC的方程为yxm，将其代入椭圆方程1，得一元二次方程3x24248，即x2mxm2120，且x1与x2是该方程的两个根，由根与系数的关系得x1x2m，于是y1y2(x1x2)2m，线段BC的中点坐标为.又线段BC的中点在直线y2x1上，m1，得m4.即线段BC的中点坐标为(2,3)，与点A重合，矛盾不存在满足题设条件的相异两点