1、高考资源网（ ），您身边的高考专家第三节等比数列及其前n项和 考点一等比数列的判定与证明 例1已知数列an的前n项和为Sn， a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求证：bn是等比数列自主解答an2Sn2Sn14an124an24an14an.2，S2a1a24a12，a25.b1a22a13.数列bn是首项为3，公比为2的等比数列【互动探究】保持本例条件不变，若cn，证明：cn是等比数列证明：由例题知，bn32n1an12an，3.数列是首项为2，公差为3的等差数列2(n1)33n1，an(3n1)2n2，cn2n2.2.数列cn为等比数列【方法规律】等比数列的判定方法证明一
2、个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm解析：选Cbnam(n1)1(1qq2qm1)，qm，故数列bn为等比数列，公比为qm，选项A、B均错误；cnaq12(m1)，m(qm)mqm2，故数列cn为
3、等比数列，公比为qm2，D错误，故选C.高频考点考点二 等比数列的基本运算1等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题2高考对等比数列的基本运算的考查常有以下几个命题角度：(1)化基本量求通项；(2)化基本量求特定项；(3)化基本量求公比；(4)化基本量求和例2(1)(2013新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1()A. B C. D(2)(2012浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.(3)(2013湖北高考)已知等比数列an满足：|a2a3
4、|10，a1a2a3125.求数列an的通项公式；是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由自主解答(1)由已知条件及S3a1a2a3，得a39a1，设数列an的公比为q，则q29.所以a59a1q481a1，得a1.(2)由S23a22，S43a42作差，可得a3a43a43a2，即2a4a33a20，所以2q2q30，解得q或q1(舍)(3)设等比数列an的公比为q，则由已知可得解得或故an3n1，或an5(1)n1.若an3n1，则n1，故是首项为，公比为的等比数列，从而.若an(5)(1)n1，则(1)n1，故是首项为，公比为1的等比数列，从而故1.综上，对任何
5、正整数m，总有1.故不存在正整数m，使得1成立答案(1)C(2)等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)化基本量求通项求等比数列的两个基本元素a1和q，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解(2)化基本量求特定项利用通项公式或者等比数列的性质求解(3)化基本量求公比利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解(4)化基本量求和直接将基本量代入前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解1(2013新课标全国卷)设首项为1，公比的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an解析：选D因为a11，公比q，所以ann1，Sn332n132an.2
6、已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：设数列an的首项为a1，公比为q，aa10,2(anan2)5an1，得a1q，由由知q2或q，又数列an为递增数列，a1q2，从而an2n.答案：2n3等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解：(1)S1，S3，S2成等差数列，a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0，又q0，从而q.(2)由已知可得a1a123，故a14，从而Sn.考点三等比数列的性质 例3(1)已知等比数列an中，a1a2a3
7、40，a4a5a620，则前9项之和等于()A50 B70 C80 D90(2)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7自主解答(1)S3，S6S3，S9S6成等比数列，S3(S9S6)(S6S3)2，又S340，S6402060，40(S960)202，故S970.(2)由已知得解得或当a44，a72时，易得a18，a101，从而a1a107；当a42，a74时，易得a108， a11，从而a1a107.答案(1)B(2)D【方法规律】等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式
8、的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口1记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m的值为()A4 B7 C10 D12解析：选A因为an是等比数列，所以am1am1a，又由am1am12am0，可知am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积T2m1a，即22m1128，故m4.2在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.解析：法一：a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548
9、，由，得q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q，T1a1a2a3a41，T4a13a14a168，T4T1q31q38，即q2.T11a41a42a43a44T1q102101 024.答案：1 024课堂归纳通法领悟2个注意点应用等比数列的公比应注意的问题(1)由an1qan(q0)，并不能断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1和q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致错误4种方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列；(2)等比中项法：在数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列；(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列注意：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。