1、函数与方程一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2011福建高考改编)若关于x的方程x2xm20有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()(A)(，)(B)(2,2) (C)(，)(，)(D)(，2)(2，)2.(2012潍坊模拟)已知x0是函数f(x)2x的一个零点，若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()(A)f(x1)0，f(x2)0 (B)f(x1)0(C)f(x1)0，f(x2)0，f(x2)03.设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x1,2上近似解的过程中，计算得到f(1) 0，f(1.25)0，则方程的解所在的区间为 ()(A)1,1.25 (B)1.25
2、,1.5(C)1.5,2 (D)不能确定4.函数f(x)|x2|lnx在定义域内零点的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(2012德州模拟)函数f(x)的零点个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.已知函数f(x)()xlog2x，正实数a，b，c依次成公差为正数的等差数列，且满足f(a)f(b)f(c)0，若实数d是方程f(x)0的一个解，那么下列四个判断：db；dc中有可能成立的个数为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题(每小题6分，共18分)7.函数f(x)1x的零点的个数是.8.(2012衡水模拟)已知函数f(x)3xx5的零点x0 a，b
3、，且ba1，a，bN*，则ab.9.(易错题)若函数f(x)(m1)x22(m1)x1有且仅有一个零点，则实数m的取值集合是.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012汕头模拟)已知函数f(x)，x1是函数yf(x)的极值点.(1)求实数a的值；(2)若方程f(x)m0有两个不相等的实数根，求实数m的取值.11.已知二次函数f(x)ax2bxc.(1)若abc且f(1)0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1，x2R，且x10，解得m.2.【解析】选B.函数f(x)2x在(1，)上单调递增.由于x0是f(x)的一个零点，即f(x0)0，f(x1)0，故选B.3.【解析】选B.由
4、于f(1)0，则第一步计算中点值f(1.25)0，则确定区间为1.25,1.5，故选B.4.【解题指南】本题可转化为函数y|x2|和ylnx图象的交点个数求解.【解析】选C.在同一直角坐标系中，作出函数y|x2|与ylnx的图象如图，从图中可知，两函数共有2个交点，其零点的个数为2.5.【解析】选C.当x0时，由x22x30得x1，当x0时，f(x)x1lnx是增函数且f(1)0，函数f(x)有两个零点1,1.故选C.6.【解析】选C.由题意，f(x)()xlog2x是减函数，正数a，b，c依次成公差为正数的等差数列，abf(b)f(c)，又f(a)f (b)f(c)0，f(c)0，又f(d)
5、0，d0，f(b)0，则ad，bd；故正确.若f(a)0，f(b)d，bd.故正确.综上，有可能成立的为3个.【变式备选】已知函数f(x)()xlog2x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)()(A)恒为正值 (B)等于0(C)恒为负值 (D)不大于0【解析】选A.f(x)()xlog2x在(0，)上为减函数，并且f(x0)0,0x1f(x0)0.7.【解题指南】先求导判断函数f(x)的单调性，再找两个自变量的值使其对应的函数值异号.【解析】f(x)1xx2(x)20，因此函数f(x)在R上单调递增，又f(2)0，因此其零点的个数是1.答案：18.【解析】由已知x0a，
6、b，且ba1，a，bN*a，b的可能取值为a1，b2，或a2，b3，又f(1)31510f(1)f(2)0时，f (x)(x22ax)ex，f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx22(1a)x2aex，由已知，f(1)0，12(1a)2ae0，122a2a0，a.(2)由(1)知x0时，f(x)(x2x)ex，f(x)(2x)ex(x2x)ex(x1)(2x3)ex，令f(x)0得x1(x舍去)，当x0时：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值e所以，要使方程f(x)m0有两个不相等的实数根，即函数yf(x)的图象与直线ym有两个不同的交点，可知m0或me.11.【证明】(1)f
7、(1)0，abc0.又abc，a0，c0，即ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根，函数f(x)必有两个零点.(2)令g(x)f (x)f(x1)f(x2)，则g(x1)f(x1)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)f(x2).g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0.g(x)0在(x1，x2)内必有一实根.即f(x)f(x1)f(x2)必有一实根属于(x1，x2).【探究创新】【解析】(1)“对于任意的aR(R为实数集)，方程f(x)1必有实数根”是真命题.依题意：f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR(R为实数集)恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根.(2)依题意：要使yf(x)在区间(1,0)及(0，)内各有一个零点，只需即，解得a.