1、三十一抛物线方程及性质的应用 (15分钟30分)1过点P(0，1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4条 B3条 C2条 D1条【解析】选B.当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条2与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10【解析】选D.设切线方程为2xym0，与yx2联立得x22xm0，44m0，m1，即切线方程为2xy10.3等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是()A8p2 B4p2C2p2 Dp2【解析】选B.因为
2、抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，2p).所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.4(2020全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A BC(1，0) D(2，0)【解析】选B.将x2代入y22px(p0)得y2，由ODOE得kODkOE1，即1，得p1，所以抛物线C：y22x的焦点坐标为.5若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax恰好有一个公共点，
3、试求实数a的取值集合【解析】因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解，消去y，得(a1)x12ax，整理得(a1)2x2(3a2)x10(1)当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解(2)当a10，即a1时，方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0或a.当a0时，原方程组有唯一解当a时，原方程组有唯一解.综上实数a的取值集合是. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1若抛物线y2x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxb对称，且y1y21，则实数b的值为()A3 B3
4、 C2 D2【解析】选D.因为抛物线y2x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxb对称，所以1，所以1，所以y1y21.因为y1y21，所以x1x2yy(y1y2)22y1y23，所以两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为.代入yxb，可得b2.2已知P为抛物线y24x上一个动点，P到其准线的距离为d，Q为圆C：(x2)2(y4)21上一个动点，d|PQ|的最小值是()A5 B4C21 D1【解析】选B.点P是抛物线y24x上的点，又点P到抛物线准线的距离为d，点P到圆C：(x2)2(y4)21上的动点Q的距离为|PQ|，由抛物线定义知：点P到准线的距离等于点P到焦点F
5、的距离，如图所示，连接圆心C与F，交圆于Q.FC交抛物线的点即为使d|PQ|最小时P的位置，所以d|PQ|的最小值为：|FC|1，因为C(2，4)，F(1，0)，所以|FC|5，|CQ|1，所以d|PQ|的最小值为514.3(2020哈尔滨高二检测)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|等于()A B3 C D2【解析】选B.设点Q到l的距离为d，则|QF|d.因为4，所以|PQ|3d.所以直线PF的斜率为2.因为F(2，0)，所以直线PF的方程为y2(x2)，与y28x联立，得x1，x4(舍)，所以Q点横坐标为1，所以|QF|d
6、123.4(2020合肥高二检测)已知直线l与抛物线x24y交于A，B两点，0(其中O为坐标原点).若，则直线OP的斜率的取值范围是()ABCD【解析】选D.如图，设A，B，因为，则P，又0，即x1x2y1y20，即x1x20，即x1x216，设直线OP的斜率为k，则k，22，当且仅当，即4时等号成立，故k.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5(2020济南高二检测)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，则下列结论正确的是()A点P到抛物线焦点的距离为B过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则OPQ的面积为C过点P与抛物线相切的直线方
7、程为x2y10D过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点，则直线MN的斜率为定值【解析】选BCD.因为抛物线C：y22px过点P(1，1)，所以p，所以抛物线方程为y2x，焦点坐标为F，对于A，1，故A错误对于B，kPF，所以lPF：y，与y2x联立得4y23y10，所以y1y2，y1y2，所以SOPQ，故B正确对于C，依题意知斜率存在，设直线方程为y1k(x1)，与y2x联立得ky2y1k0，14k0，4k24k10，解得k，所以切线方程为x2y10，故C正确对于D，依题意知斜率存在，设lPM：y1k(x1)，与y2x联立得：ky2y1k0，所以yM1，即yM1，则xM2，所以点M
8、，同理点N，所以kMN，故D正确6已知抛物线C：y22px的准线经过点M，过C的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则下列结论正确的是()Ap2B的最小值为16C四边形ADBE的面积的最小值为64D若直线l1的斜率为2，则AMB90【解析】选ABD.由题可知1，所以p2，故A正确设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为.设A，B，D，E，直线l1：yk，直线l2：y.联立，消去y整理得k2x2xk20，所以x1x2，x1x21.所以x1x2p24.同理x3x4p244k2，从而8416，当且仅当k1时等号成立，故B正确因为S四边形ADB
9、E83232，当且仅当k1时等号成立，故C错误x1x2x1x21y1y21，将x1x23，x1x21与y1y22，y1y24代入上式，得0，所以AMB90，故D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_【解析】由抛物线定义知P到准线l2：x1的距离等于它到焦点(1，0)的距离，所以P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于焦点到l1的距离d2.答案：28(2018全国卷)已知点M和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_【解析】由抛物线的方程y2
10、4x可知其焦点F的坐标为(1，0)，所以直线AB的方程为yk(x1)，由得k2x22(k22)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x21，因为AMB90，所以(x11，y11)(x21，y21)(x11)(x21)(y11)(y21)(x11)(x21)k(x11)1k(x21)1(1kk2)(x1x2)(1k2)x1x2k22k2(1kk2)(1k2)k22k20，整理可解得k2.答案：2四、解答题(每小题10分，共20分)9(2020全国卷)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，
11、B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程【解析】(1)因为F是椭圆C1的右焦点，且ABx轴，所以F(c，0)，直线AB的方程为xc，联立，得1，又因为a2b2c2，所以y22，解得y，则|AB|，因为点F(c，0)是抛物线C2的焦点，所以抛物线C2的方程为y24cx，联立，解得，所以|CD|4c，因为|CD|AB|，即4c，2b23ac，即2c23ac2a20，即2e23e20，因为0e1，解得e，因此，椭圆C1的离心率为.(2)由(1)知a2c，bc，椭圆C1的方程为1，联立，消去y并整理得3x2
12、16cx12c20，解得xc或x6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|cc5，解得c3.因此，曲线C1的标准方程为1，曲线C2的标准方程为y212x.10已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|8.(1)求抛物线C的方程(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，3)，求直线l的方程【解析】(1)由抛物线定义，可得58，解得p6，所以抛物线C的方程为：y212x.(2)由(1)知，F(3，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmy3，联立方程消去x，整理得y212my360，则144m21440
13、，且y1y212m，y1y236.因为以线段AB为直径的圆过点Q(0，3)，所以0，即x1x2(y13)(y23)0，所以x1x23(y1y2)y1y290，所以(my13)(my23)3(y1y2)y1y290，所以(m21)y1y2(3m3)(y1y2)180，36m23636m236m180，所以m.所以直线l的方程为：xy3，即2xy60.【创新迁移】1已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A，B满足3，则弦AB的中点到准线的距离为_【解析】如图，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为点E，G，又过点B作BKAE于点K交x轴于点H，由3，可设|m，|3m，由抛物线的性质得，|AE|
14、3m，|BG|m，|HF|2m；又由HFAE得，即，m，所以弦AB的中点到准线的距离为(|BG|AE|)|AB|4m2.答案：2设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为2，求|AB|的值；(2)求证：是一个定值【解析】(1)依题意得F(1，0)，所以直线l的方程为y2(x1).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得x23x10，所以x1x23，x1x21.方法一：|AB|5.方法二：|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)由题意知l的斜率存在，故设直线l的方程为xky1，直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去x，整理得y24ky40，所以y1y24k，y1y24.因为(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143，所以是一个定值