1、第三章 空间向量与立体几何31.2 空间向量的基本定理第三章 空间向量与立体几何 1.了解共线向量的概念、向量与平面平行的意义 2.理解共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理 3会用适当的基底表示其他向量栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1共线向量定理两个空间向量 a，b_，ab 的充要条件是_的实数 x，使_存在唯一(b0)axb栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2共面向量定理于平面或在内同一平面存在唯一cxayb平行栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3空间向量
2、分解定理如果三个向量 a，b，c_，那么对空间任一向量 p，_有序实数组 x，y，z，使 p_，这时 a，b，c 叫做空间的一个_，记作a，b，c，其中 a，b，c 都叫做_pxaybzc不共面存在一个唯一的基底基向量栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量()(3)若 ab，则存在惟一的实数，使 ab.()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量()栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章
3、空间向量与立体几何2已知 R，则下列命题正确的是()A|a|a|B|a|aC|a|a|D|a|0答案：C栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3若 e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量 a，b 共线的是()Aae1e2，b12e112e2Ba12e113e2，b2e13e2Ca13e112e2，b2e13e2Dae1e2，b12e112e2答案：C栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何4空间的任意三个向量 a，b，3a2b，它们一定是()A共线向量B共面向量C不共面向量D既不共线也不共面向量答案：B栏目导引探究案讲
4、练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 共线向量的判定 如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是C1D1，AB 的中点，E 在 AA1 上且 AE2EA1，F 在 CC1 上且 CF12FC1，判断ME 与NF 是否共线？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【解】由已知可得，ME MD1 D1A1 A1E 12BA CB 13A1A NB CB 13C1C CN FC FN NF.所以ME NF，故ME 与NF 共线栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 在本例中，若
5、M、N 分别为 AD1，BD 的中点，证明MN 与D1C 共线栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何证明：连接 AC，则 NAC 且 N 为 AC 的中点，所以AN 12AC，由已知得AM 12AD1，所以MN AN AM 12AC 12AD1 12D1C.所以MN 与D1C 共线栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何判断向量 a，b 共线的方法有两种(1)定义法 即证明 ab，先证明 a，b 所在基线平行或重合(2)利用“axbab”判断 a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出
6、 axb，从而得 ab，即 a 与 b 共线 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 如图所示，ABCD、ABEF 都是平行四边形，且不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点，判断CE 与MN 是否共线？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何解：因为MN MC CB BN 12AC BC 12BF 12(BC BA)BC 12(BA BE)12BC 12BE 12(BC BE)12EC 12CE，所以MN CE，即CE 与MN 共线栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 共面向量
7、的判定 已知 A、B、C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的一点，若点 M 满足OM 13OA 13OB 13OC.(1)判断MA、MB、MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【解】(1)由已知，得OA OB OC 3OM，所以OA OM(OM OB)(OM OC)，所以MA BM CM MB MC，所以向量MA、MB、MC 共面(2)由(1)知向量MA、MB、MC 共面，三个向量的基线又有公共点 M，所以 M、A、B、C 共面，即点 M 在平面 ABC 内栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提
8、升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何共面向量定理可用来证明四点共面，也可以证明线线平行，在本题中的一般结论是若OM xOA yOB zOC，且 xyz1，则 M、A、B、C 四点共面 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连接 PA，PB，PC，PD，点 E，F，G，H 分别为PAB，PBC，PCD，PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H 四点共面栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何证明：分别连接并延长 PE，PF，PG，PH交对边于
9、M，N，Q，R.如图所示，因为 E，F，G，H 分别是所在三角形的重心，所以 M，N，Q，R 为所在边的中点，顺次连接 M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有PE23PM，PF23PN，PG 23PQ，PH 23PR.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何因为 MNQR 为平行四边形，所以EG PG PE23PQ 23PM 23MQ 23(MN MR)23(PN PM)23(PRPM)2332PF32PE 2332PH 32PE EF EH.所以由共面向量定理得 E，F，G，H 四点共面栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向
10、量与立体几何 空间向量分解定理的应用 如图所示，空间四边形 OABC 中，G、H 分别是ABC、OBC 的重心，设OA a，OB b，OC c，试用向量 a、b、c表示向量GH.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【解】由题意知GH OH OG，因为OH 23OD 2312(OB OC)13(bc)，OG OA AG OA 23AD OA 23(OD OA)13OA 2312(OB OC)13a13(bc)，所以GH 13(bc)13a13(bc)13a，即GH 13a.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何用基底表
11、示向量时，(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行运算(2)若没给定基底时，首先选择基底选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 已知空间四边形 OABC，点 M、N、P 分别是 OA，BC，OC 的中点，且OA a，OB b，OC c，试用 a、b、c 表示MN，MP.解：MN MO ON 12OA 12(OB OC)12(abc)，MP OP OM 12(ca)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学
12、习第三章 空间向量与立体几何1共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量 a，b，若存在实数 x，使 axb(b0)ab，可以作为以后证明线线平行的依据，但必然在 a(或 b)上有一点不在 b(或 a)上2线面平行与四点共面问题(1)证明线面平行，据题设选择平面内两个不共线向量(一组基底)，该线所对应向量用平面内不共线向量(基向量)表示成 axbyc 形式，又线不在平面内，即证线面平行栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何(2)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP xMA yMB.满足这个关系式的点 P 都在平面
13、MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面3空间任意三个不共面的向量 a、b、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底的选择范围很广，但在具体的题目或几何体中往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何向量共线与共面不具有传递性，如 ab，bc，那么 ac 就不一定成立因为当 b0 时，虽然 ab，bc，但 a 不一定与 c共线栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1已知空间向量 a，b 不共线，pkab，qa
14、k2b，若 p，q共线，则 k 的值是()A0 B1C1 D2解析：选 C若 p，q 共线，则存在唯一的实数 x，使 pxq，即 kabxaxk2bkx1xk2k1.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2已知a，b，c是空间向量的一个基底，则可以与向量 pab，qab 构成基底的向量是()AaBbCa2bDa2c解析：选 D构成基底的条件是三个向量不共面，故只有 D 选项满足条件 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3对于不共面的三个向量 a，b，c，如果 xaybzc0，则 x_，y_，z_答案：0 0 0栏目导
15、引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何4设 xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间基底的向量组有_栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何解析：如图所示，设 aAB，bAA，cAD，则 xAB，yAD，zAC，abcAC.由图知，A，B，C，D四点不共面，故向量 x，y，z 也不共面 同理 b，c，z 和 x，y，abc 也不共面所以，可以作为空间基底的向量组有.答案：栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
