1、高考六大高频考点例析对应学生用书P44两个计数原理及排列与组合问题考查方式高考对两个计数原理、排列与组合的考查，主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度不大，高考中，同时考查两个计数原理、排列与组合试题俱多在解答题中，排列、组合常与概率、分布列的有关知识结合在一起考查备考指要解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手“分析”就是找出题目的条件、结论哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单
2、的排列组合问题，然后逐步解决同时要遵循四大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则、正难则反的原则.例1(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种B216种C240种 D288种解析当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种故不同的排法共有ACA924216种答案B例2(1)(全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种(2)(安徽高考)从正方体六个面的对角
3、线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对 B30对C48对 D60对解析(1)从中选出2名男医生的选法有C15种，从中选出1名女医生的选法有C5种，所以不同的选法共有15575种，故选C.(2)法一：直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60，共8对，同样A1C1对应的也有8对，因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对，又正方体共有6个面，所以共有16696(对)，又因为每对被计算了2次，因此成60的面对角线有9648(对)法二：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60，所以成角为60的共有C126
4、48.答案(1)C(2)C1设集合I1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有()A50种 B49种C48种 D47种解析：集合A，B中没有相同的元素，且都不是空集从5个元素中选出2个元素，有C10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C10种选法，再分成1,2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有21020种方法；从5个元素中选出4个元素，有C5种选法，再分成1,3；2,2；3,1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3515种方法；从5个元素中选出5个元素，有C
5、1种选法，再分成1,4；2,3；3,2；4,1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有414种方法总计为102015449种方法选B.答案：B2某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为()A720 B520C600 D360解析：依题意，分两类：甲、乙有一人参加，有CCA480种；甲、乙都参加，有CAA120种故不同的发言顺序为480120600种答案：C3(浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)解
6、析：分两步：(1)先选A，B，C 3个空排，共有CAA种排法；(2)再排其余3个字母，共有A种排法；所以共有CAAA480种排法答案：480二项式定理及应用考查方式二项式定理问题相对独立，在高考中考查形式常以选择、填空为主考查的内容以二项展开式及其通项公式为主，重点考查二项式的特殊项和二项式系数的性质备考指要二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础；二项展开式的性质是解题的关键求解时要注意区分“二项式系数”与“展开式中项的系数”的不同.例3(1)(新课标全国)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)(2)(新课标全国卷)(xa)10的展开式中，x7的系数为1
7、5，则a_.(用数字填写答案)(3)(安徽高考)设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则a_.解析(1)(xy)8中，Tr1Cx8ryr，令r7，再令r6，得x2y7的系数为CC82820.(2)二项展开式的通项公式为Tr1Cx10rar，当10r7时，r3，T4Ca3x7，则Ca315，故a.(3)由题图可知a01，a13，a24，由题意知故可得答案(1)20(2)(3)34已知二项式(3x2)n的展开式中所有项的系数和为3 125，则此展开式中含x4项的系数是()A240 B720C810 D1 080解析：
8、令x1，则5n3 125，解得n5.Tr1C(3x)5r2r2r35rCx5r，令5r4，得r1.则含x4项的系数为2134C810.答案：C5(辽宁高考)使n(nN)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5C6 D7解析：由二项式定理得，Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，令nr0，当r2时，n5，此时n最小答案：B6若多项式x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则a8的值为_解析：x10(1x1)10，a8(x1)8C12(x1)8，a8C45.答案：45离散型随机变量的分布列考查方式离散型随机变量的概率分布列是求随机变量的数学期望和方差的基础，而求分布列需要综合
9、应用排列、组合和概率的相关知识，是高考考查的重点内容之一在近几年高考中主要以大题形式综合考查，难度以低、中档为主备考指要求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键求离散型随机变量的分布列有三个步骤：(1)明确随机变量X取哪些值；(2)计算随机变量X取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出，计算概率时注意结合排列与组合知识.例4(天津高考)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学
10、院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A).所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以，随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.7一袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的均值是_(用数字作答)解析：令取红球个数为
11、X(X0,1,2)，P(X0)，P(X1)，P(X2).则X的分布列为X012P于是EX0121.2，故红球个数的均值为1.2.答案：1.28(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28种，X0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X0
12、).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1,0,1，X2时，有2种情形；X1时，有10种情形；X1时，有8种情形所以X的分布列为：X2101PEX(2)(1)01.条件概率与独立事件概率考查方式高考对条件概率与独立事件概率考查，主要是概率的求法，多以解答题一问出现，一般难度较低备考指要1.求解条件概率，要利用计算公式(1)对于古典概率的题目，可采用缩减样本空间的办法求条件概率或用P(B|A).(2)直接利用公式P(B|A)求解2.对于相互独立事件要注意区分与互斥事件的不同，解题时先要注意判断事件是互斥，还是相互独立，然后选择相应的公式解题(1)当事件A，B互斥时，那么事件AB发生(即A，B
13、中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和(2)当事件A，B相互独立时，那么AB发生(即A，B同时发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率之积.例5(山东高考)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明的两次
14、回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望解(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(A3)，P(A1)，P(A0)1；记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分 ”(i0,1,3)，则P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)
15、P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)，P(6)P(A3B3).可得随机变量的分布列为：012346P所以数学期望E()012346.9(辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数
16、均为偶数”，则P(B|A)()A. B.C. D.解析：P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|A).答案：B10(大纲版全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”，则AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)X的可能取值为0,1,2.
17、记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3).P(X2)P(1B3)P(1)P(B3)，P(X1)1P(X0)P(X2)1.EX0P(X0)1P(X1)2P(X2).超几何分布、二项分布考查方式超几何分布、二项分布属于离散型随机变量的分布列，是高考的重点和热点主要考查分布列及均值的求法，以解答题为主，难度中等备考指要熟练掌握二项分布和超几何分布的概率公式：P(Xk)Cpk(1p)nk和P(Xk)，
18、弄清N，M，n，k等的数值及含义，并能代入公式求出随机变量的概率及分布列.例6(四川高考)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因解
19、(1)X可能的取值为：10,20,100，200.根据题意，有P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以X的分布列为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为E(X)1020100200.这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大11一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个现从中随机摸出3个
20、球(1)求至少摸到一个红球的概率；(2)求摸到黑球的个数X的分布列、均值解：(1)至少摸到1个红球的概率为11.(2)由题意知X服从参数N8，M3，n3的超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，则P(Xk)(k0,1,2,3)，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X的分布列为X0123PEX0123.12(福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记
21、他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以EX12，EX2
22、2，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以EX1024，E
23、X2036.因为EX1EX2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.统计案例考查方式统计案例主要是回归分析和独立性检验，在考纲中都是“了解”层次的内容高考对本块知识的考查方式呈现多样性，各类题型都有，属中档题备考指要1.线性回归直线方程yabx. 其中b，ab；回归直线方程一定过点(，)，并会利用回归方程对相关变量进行回归分析2.掌握独立性检验的步骤：(1)根据样本数据列22列联表(2)根据公式计算2.(3)根据2值的大小作出判断.例7(辽宁高考改编)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看
24、该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望EX和方差DX.解(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联
25、表中的数据代入公式计算，得23.030.因为3.0302.706，因此，能以90%的把握认为在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机14某市5年中的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：x用户(万户)11.11.51.61.8y(万立方米)6791112(1)作散点图检验是否线性相关；(2)求回归方程；(3)若市政府下一步再扩大两千煤气用户，试预测该市煤气消耗量解：(1)作出散点图(如图)，观察呈线性正相关(2)，9，121.121.521.621.8210.26，iyi161.171.591.6111.81266.4，b.ab9，回归方程为yx.(3)当x1.80.22时，代入得y
26、213.4.煤气消耗量约达13.4万立方米模块综合检测(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图，要用三根数据线将四台电脑A，B，C，D连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为()A20B16C10 D8解析：不同的连接方法共有C416种答案：B2已知随机变量X服从正态分布N(3，2)，则P(X3)等于()A. B.C. D.解析：由正态分布的图像知，x3为该图像的对称轴，则P(X3).答案：D3掷一枚硬币，记事件A“出现正面”，B“出现反面”，则有()AA与B相互独立BP(AB)P(A)
27、P(B)CA与B不相互独立DP(AB)解析：由于事件A和事件B是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A与B为互斥事件P(AB)0P(A)P(B)，A与B不相互独立答案：C4已知集合S1,0,1，P1,2,3,4，从集合S，P中各取一个元素作为点的坐标，可作出不同的点的个数为()A21 B22C23 D24解析：不同点的个数为CCA123，其中(1,1)重复一次答案：C5.某单位为了了解用电量y(度)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x()1813101用电量y(度)24343864由表中数据得线性回归方程yabx中b2，预测当气温为4时，用电
28、量的度数约为()A58 B66C68 D70解析：10，40，所以ab40(2)1060.所以，当x4时，yabx602(4)68.答案：C6在10支铅笔中，有8只正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是()A. B.C. D.解析：设A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则B表示“第一次抽得次品第二次抽得正品”P(B|).答案：C7二项式n展开式中所有奇数项系数之和等于1 024，则所有项的系数中最大的值是()A330 B462C680 D790解析：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x1即得所有项系数之和据题意可得2n11 024210
29、，n11.各项的系数为二项式系数，故系数最大值为C或C，为462.答案：B8以圆x2y22x2y10内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为()A76 B78C81 D84解析：如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x1)2(y1)23，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C876.故选A.答案：A9从字母a，b，c，d，e，f中选出4个数排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻(a在b的前面)，共有排列方法()A36种 B72种C90种 D144种解析：从c，d，e，f中选2个，有C，把a，b看成一个整体，则3个元素全排列为A，共计CA36.答案：A10(
30、湖北高考)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于()A0 B1C11 D12解析：512 012a(1341)2 012a，被13除余1a，结合选项可得a12时，512 012a能被13整除答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)11数列a1，a2，a7中，恰好有5个a,2个b(ab)，则不相同的数列共有_个解析：7个位置中选2个位置放入2个b，其余5个位置放入5个a，共有C21个数列答案：2112俗语中常说，三个臭皮匠胜过诸葛亮，若三个臭皮匠能解决某问题的概率分别为60%,50%,45%.诸葛亮解决问题的概率为85%.若三
31、个臭皮匠中有一人能解决问题即为解决，则三个臭皮匠解决此问题的概率为_解析：记A“三个臭皮匠不能解决问题”，P(A)(160%)(150%)(145%)0.11，三个臭皮匠能解决此问题的概率为1P(A)10.110.8989%.答案：89%13袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X6)_.解析：从袋中任取4只球的可能有：4红，3红1黑，2红2黑，1红3黑，得分分别为4分，6分，8分，10分以红球个数为标准，则其服从超几何分布，由题意得P(X6)P(X4)P(X6).答案：14用五种不同的颜色，给图中的(1)，(2)，(3)，
32、(4)各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有_种解析：先涂(3)有5种方法，再涂(2)有4种方法，再涂(1)有3种方法，最后涂(4)有4种方法，所以共有5434240种涂色方法答案：240三、解答题(本大题共4个小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C28，这2个产
33、品都是次品的事件数为C3.所以这2个产品都是次品的概率为.(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥P(B1)，P(B2)，P(B3)，P(A|B1)，P(A|B2)，P(A|B3)，所以P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)，即取出的这个产品是正品的概率为.16(本小题满分12分)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个
34、球，至少得到1个白球的概率是.(1)若袋中共有10个球求白球的个数；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望EX.(2)试说明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，并指出袋中哪种颜色的球的个数最少解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数x，则P(A)1，解得x5，所以白球有5个随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，分布列是：X0123P所以X的数学期望为EX0123.(2)设袋中有n个球，其中有y个黑球，由题意得yn，所以2yn,2yn1，所以.记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B，则P(B).
35、所以白球的个数比黑球多，白球的个数多于n，红球的个数少于，所以袋中红球的个数最少17(本小题满分12分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：60分以下6170分7180分8190分91100分甲班(人数)36111812乙班(人数)48131510现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀(1)试分别估计两个班级的优秀率；
36、(2)由以上统计数据填写下面22列联表，并判断是否有95%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮助.优秀人数非优秀人数总计甲班乙班总计解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30，优秀率为60%，乙班优秀人数为25，优秀率为50%，所以甲、乙两班优秀率分别为60%和50%.(2)优秀人数非优秀人数总计甲班302050乙班252550总计5545100因为21.0103.841，所以没有95%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮助18(本小题满分14分)(安徽高考)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5局仍
37、未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)解：用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)222.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345PX的数学期望E(X)2345.