1、考点规范练7函数的奇偶性与周期性基础巩固1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)内单调递增的是()A.y=|x|+1B.y=x3C.y=-x2+1D.y=12x2.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.1B.5C.-1D.-53.(2021全国)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f-13=13,则f53=()A.-53B.-13C.13D.534.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.
2、(2,+)5.(2021广西南宁模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在区间0,1上是减函数,则有()A.f32f-14f14B.f14f-14f32C.f32f14f-14D.f-14f320的x的取值范围是()A.(0,+)B.0,12(2,+)C.0,1812,2D.0,129.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1x-2,f(2)=m-3m,则m的取值范围是.11.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+)=2f(x),且当x0,时,f(x)=sin x.若对任意的x(-,m,都有f(x)2,则实数m的取值范围是.12.
3、(2021新高考)写出一个同时具有下列性质的函数f(x):.f(x1x2)=f(x1)f(x2);当x(0,+)时,f(x)0;f(x)是奇函数.能力提升13.(2021江苏连云港模拟改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)与f(x+1)都为奇函数,则下列说法错误的是()A.f(x-1)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+2)为偶函数14.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x-12,则xf(x)0的解集为.15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR,都有f(x+2)=f(x).当0x1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与
4、函数y=f(x)的图象在区间0,2上恰有两个不同的公共点,则实数a的值是()A.0B.0或-12C.-14或-12D.0或-1416.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=3x.若12a0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.高考预测18.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x-1,0时,f(x)=1-x2,则f20203=()A.109B.119C.139D.169答案：1.A解析选项A中,f(x)=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x|
5、+1=f(x),为偶函数,当x0时,y=x+1在区间(0,+)内单调递增,故选项A符合题意;选项B中,y=x3为奇函数,不符合题意;选项C中,y=-x2+1为偶函数,在区间(0,+)内单调递减,不符合题意;选项D中,y=12x为非奇非偶函数,不符合题意.2.B解析令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.3.C解析f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).f(x+1)=f(-x),f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),函数f(x)是周期为2的周期函数,则f53=f2-
6、13=f-13=13.故选C.4.B解析由题意知f(-2)=f(2)=0,当x(-2,0时,f(x)f(-2)=0.由对称性知,当x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)f(2)=0,故x(-2,2)时,f(x)1214-14-1,f12f14f-14,即f32f140,则f(|log18x|)f13,即|log18x|13,故log18x13或log18x-13,解得0x2.故x的取值范围是0,12(2,+).故选B.9.D解析由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x+1)+1=f(x),f(x)是周期为2的周期函数.log232log220log216,4log220-2,f(
7、x)是奇函数,故有f(-1)2.又周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的最小正周期为3,故f(2)=f(-1)2.f(2)=m-3m,m-3m0时,解得0m3;当m0时,解得m-1.所以m的取值范围是(-,-1)(0,3).11.-,136解析当x0,时,f(x)=sinx;当x(,2时,x-(0,f(x)=2f(x-)=2sin(x-)=-2sinx;当x(2,3时,x-(,2,f(x)=2f(x-)=-4sin(x-)=4sinx;当x(-,0时,x+(0,f(x+)=sin(x+)=-sinx,则f(x)=12f(x+)=-12sinx;画出函数f(x)的部分图象如图所示.当2
8、x0时有f(x)0,满足,f(x)=4x3的定义域为R,又f(-x)=-4x3=-f(x),故f(x)是奇函数,满足.13.D解析由题意知,f(-x-1)+f(x+1)=0且f(-x+1)+f(x+1)=0,f(1-x)=f(-1-x),即f(x-1)=f(x+1),可得f(x)=f(x+2),f(x)是周期为2的周期函数,且f(x-1),f(x+2)为奇函数,故A,B正确,D错误;由上知,f(x+1)=f(x+3),所以f(x+3)为奇函数,C正确.14.x|x1或x=0或x-1解析因为f(x)为R上的奇函数,且当x0时,-x0,12-12x0或x=0或x0,2x-120,解得x1或x=0或
9、x-1.15.D解析因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.因为当0x1时,f(x)=x2,且f(x)是偶函数,所以可画出函数y=f(x)在一个周期0,2上的图象如图所示.显然a=0时,y=x与y=x2在区间0,2上恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与抛物线y=x2(0x1)相切时,也恰有两个不同的公共点.由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0.故=1+4a=0,即a=-14.综上可知,a=0或a=-14.16.5解析f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为2的函数.若x-1,0,则-x0,1,此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=
10、-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间-3,2上的图象,如图所示.因为12a34,且当a=12和a=34时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.17.-8解析f(x)为奇函数,且f(x-4)=-f(x),f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(x)=f(4-x),且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在区间-2,2上是增函数,在区间2,6上是减函数.据此可画出y=f(x)的草图(如图):其图象也关于直线x=-6对称,x1+x2=-12,x3+x4=4,x1+x2+x3+x4=-8.18.C解析因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(-x)=f(x+2).又f(x)=2-f(-x),所以f(x+2)+f(x)=2,f(x+4)+f(x+2)=2,所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期T=4,所以f20203=f1684+43=f43.因为当x-1,0时,f(x)=1-x2,所以f43=f1+13=f1-13=f23=2-f-23=2-1-232=2-59=139.
