1、阶段质量检测(三)数学归纳法与贝努利不等式(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1设S(n)，则()AS(n)共有n项，当n2时，S(2)BS(n)共有n1项，当n2时，S(2)CS(n)共有n2n项，当n2时，S(2)DS(n)共有n2n1项，当n2时，S(2)2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5 D63已知a1，an1，nN，则an的取值范围是()A(，2) B，2)C(0，) D0，4用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式成立时，当n2时验证的不等式是()A1B.C
2、.D以上都不对5用数学归纳法证明“Sn1(nN)”时，S1等于()A. B.C. D.6已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k7时，均有f(k)，(n2，nN)17(本小题满分12分)利用数学归纳法证明(3n1)7n1(nN)能被9整除18(本小题满分14分)an是由非负整数组成的数列，满足a10，a23，an1an(an12)(an22)，n3,4,5，.(
3、1)求a3；(2)证明：anan22(n3，且nN)答 案1选DS(n)共有n2n1项，S(2).2选C取n01,2,3,4,5验证，可知n05.3选Bn1时，a2，排除C，D.an1an为递增数列可用数学归纳法证明an.5选D因为S1的首项为，末项为，所以S1，故选D.6选Df(k)k2成立时f(k1)(k1)2成立，当k4时，f(4)251642成立当k4时，有f(k)k2成立7选A34(k1)152(k1)1变形中必须出现nk时归纳假设，故变形为5634k125(34k152k1)8选B由nk到nk1时增加的对角面的个数与底面上由nk到nk1时增加的对角线一样，设nk时，底面为A1A2A
4、k，nk1时底面为A1A2A3AkAk1，增加的对角线为A2Ak1，A3Ak1，A4Ak1，Ak1Ak1，A1Ak，共有(k1)条，因此对角面也增加了(k1)个9选DA中，n1时，156，不能被13整除；B中，n1时，3553368不能被13整除；C中，n1时，617亦不能被13整除10选B当nk时左边的最后一项是2k，nk1时左边的最后一项是2k2，而左边各项都是连续的，所以nk1时比nk时左边少了(k1)，而多了(2k1)(2k2)因此增加的代数式是2(2k1)11解析：由贝努利不等式(1x)n1nx(x1，且x0，n1，nN)，当n1时，令x，所以n1n，所以n1n，即(ab)nanna
5、n1b，当n1时，MN，故MN.答案：MN12解析：c12(1a1)2，c22(1a1)(1a2)2，c32(1a1)(1a2)(1a3)2，故cn.答案：13解析：等式的左边符号正负间隔出现，先正后负，所以最后一项系数应为(1)n1，和的绝对值是前n个自然数的和为.答案：(1)n114解析：当nk1时，把ak代入，要将42k2变形为42(k1)12的形式答案：42(k1)1215证明：(1)当n1时，左边1，右边1，命题成立(2)假设当nk时(k1，kN)，命题成立，即123252(2k1)2k(4k21)那么当nk1时，123252(2k1)22(k1)12k(4k21)(2k1)2k(2
6、k1)(2k1)(2k1)2(2k1)(2k3)(k1)(k1)4(k1)21当nk1时，命题也成立由(1)(2)得：对于任意nN，等式都成立16证明：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，命题成立，即，则当nk1时，.所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立17证明：(1)当n1时，(311)71127，能被9整除，所以命题成立(2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立，即(3k1)7k1能被9整除那么当nk1时，3(k1)17k11(3k4)7k11(3k1)7k1137k1(3k1)7k137k16(3k1)7k(3k1)
7、7k17k(2163k6)(3k1)7k197k(2k3)由归纳假设知，(3k1)7k1能被9整除，而97k(2k3)也能被9整除，故3(k1)17k11能被9整除这就是说，当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对一切nN，(3n1)7n1都能被9整除18解：(1)由已知a4a3(a22)(a12)52101，a3可能取值1,2,5,10.若a31，a410，从而a5，显然a5不是非负整数，与题设矛盾若a310，则a41，从而a560.但再计算a6，也与题设矛盾a32，a45.(因a35，a42a5N，舍去)(2)用数学归纳法证明：当n3时，a32，a1202，a3a12，即n3时等式成立；假设nk(k3)时，等式成立，即akak22，由题设ak1ak(ak12)(ak22)，因为akak220.所以ak1ak12，也就是说，当nk1时，等式ak1ak12成立则根据知，对于n3(nN)，有anan22.