1、综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2021广西钦州一模)若复数z=x+yi(x,yR)满足(1+z)i=3-i,则复数z落在复平面中()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A=x|log12(2x+1)-1,集合B=x|13x9,则AB=()A.0,12B.-12,12C.(0,2)D.12,23.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p
2、2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.24.(2021北京高考)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,则当k的值发生变化时,直线l被圆C所截的弦长的最小值为2,则m的取值为()A.2B.2C.3D.35.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y=bx+a.已知i=110xi=225,i=110yi=1 600,b=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为()A.160厘米B.163厘米C.1
3、66厘米D.170厘米6.若将函数fx=34sin x-14cos x的图象向右平移m(0ma)=0.5”是“关于x的二项式ax+1x23的展开式的常数项为3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件9.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.若a=3,S为ABC的面积,则S+3cos Bcos C的最大值为()A.3B.2C.2D.310.(2021贵州毕节二模)已知t=02cos xdx,执行如图所示的程序框图,则输出S的值为()A.3B.15-1C.15-14D.411.定义在R上的偶函数f(x)在区间0,+)
4、内单调递增,且f(-2)=1,则f(x-2)1的x的取值范围是()A.0,4B.(-,-22,+)C.(-,04,+)D.-2,212.设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设函数f(x)=x2-1,x2,log2x,0x2,若f(m)=3,则实数m的值为.14.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=.15.(2021云南师大
5、附中高三月考)已知3x+3xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,若把其展开式中所有的项重新排列,则有理项互不相邻的概率为.16.(2021广西南宁三中模拟)如图是某个四面体的三视图,若在该四面体内任取一点P,则点P落在该四面体内切球内部的概率为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)(2021广西柳铁一中高三月考)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S6=36,.请在a3=5;a2+a4+a6=21这两个条件中任选一个补充在上面题干中,并回答以下问题.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Tn.18.(12分)如图,四棱锥P-AB
6、CD的底面是菱形,PO底面ABCD,O,E分别是AD,AB的中点,AB=6,AP=5,BAD=60.(1)求证:ACPE.(2)求直线PB与平面POE所成角的正弦值.(3)在DC边上是否存在点F,使BF与PA所成角的余弦值为3310?若存在,确定点F的位置;若不存在,说明理由.19.(12分)(2021福建福州三中模拟)近年我国科技成果斐然,其中北斗三号全球卫星导航系统于2020年7月31日正式开通.北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星,共30颗卫星组成.北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米,实测的导航定位精度都是23米,全
7、球服务可用性99%,亚太地区性能更优.(1)南美地区某城市通过对1 000辆家用汽车进行定位测试,发现定位精确度X近似满足XN52,14,预估该地区某辆家用汽车导航精确度在(1,3的概率;(2)某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析,选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为,求的数学期望;某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析,记Y为选取的4颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目,求Y的分布列和数学期望.附:若XN(,2),则P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3b0)的离心率为22,且过点(2,2).(1
8、)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kACkBD=-b2a2.求OAOB的最值;求证:四边形ABCD的面积为定值.21.(12分)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12,f12处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修44:坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=-1+tcos,y=2+tsin(t为参数),其中k+2,kZ.以坐标原点为极点
9、,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,点P(-1,2),求|PA|2+|PB|2的取值范围.选修45:不等式选讲23.(10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.答案：1.C解析由z=x+yi(x,yR),可得(1+z)i(-i)=(3-i)(-i),即1+z=-1-3i,可得z=-2-3i,所以x=-2,y=-3,复数对应点为(-2,-3),位于第三象限.2.A
10、解析A=x|log12(2x+1)-1=x-12x12,B=x|13x9=x|0x2,AB=x0x12,故选A.3.B解析四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选项的数据中,极端值最多,数据波动程度最大,故选B.4.C解析由题意可知圆心到直线l的距离d=|m|k2+1,圆C的半径r=2,则直线l被圆C截得的弦长为2r2-d2=24-m2k2+1.当k=0时,直线l被圆C截得的弦长最小,为24-m2.由已知得24-m2=2,解得m=3.故选C.5.C解析由已知得x=110i=110xi=22.5,y=110i=110yi=160,又b=4,所以a=y-bx=160-422.5=70
11、,故当x=24时,y=424+70=166.故选C.6.A解析f(x)=34sinx-14cosx=12sinx-6,图象向右平移m(0ma)=0.5,知a=1.因为二项式ax+1x23展开式的通项公式为Tr+1=C3r(ax)3-r1x2r=C3ra3-rx3-3r,令3-3r=0,得r=1,所以其常数项为C31a2=3a2=3,解得a=1,所以“P(a)=0.5”是“关于x的二项式ax+1x23的展开式的常数项为3”的充分不必要条件,故选A.9.A解析由cosA=b2+c2-a22bc=-3bc2bc=-32,又0A,可知A=56,又a=3,故S=12bcsinA=12asinBsinAa
12、sinC=3sinBsinC.因此S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cosBcosC取得最大值3.10.A解析因为t=02cosxdx=sinx|02=1,所以执行框图可得S=12+1+13+2+14+3+115+14+116+15=2-1(2+1)(2-1)+3-2(3+2)(3-2)+15-14(15+14)(15-14)+16-15(16+15)(16-15)=(2-1)+(3-2)+(15-14)+(16-15)=16-1=3.11.A解析偶函数f(x)在区间0,+)内单调递增,且f(-2)=1,不等式f(x-2)
13、1等价于f(|x-2|)f(-2)=f(2),即|x-2|2.0x4,f(x-2)1的x的取值范围是0,4.故选A.12.A解析如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故选A.13.2解析当m2时,m2-1=3,m2=4,m=2.m2,m=2.当0m2时,log2m=3,m=23=8.0m2,m.综上所述,m=2.14.8解析由题意知直线MN的方程为y=23(x+2),联立直线与抛
14、物线的方程,得y=23(x+2),y2=4x,解得x=1,y=2或x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4).抛物线的焦点为F(1,0),FM=(0,2),FN=(3,4).FMFN=03+24=8.15.79解析由Cn2=Cn6,得n=8,所以3x+3xn的展开式中的通项为Tr+1=C8r3x8-r(3x)r=38-rC8rx56r-4,当r=0,6时为有理项,其余7项为无理项,所以有理项互不相邻的概率为P=A77A82A99=79.16.16解析由三视图还原实物图如图所示:该四面体的底面三角形ABC为等腰直角三角形,ABAC,PA面ABC,其中AB=AC=22,PA=42,所以四面体
15、的体积V=1312222242=1623.设该四面体内切球的半径为r,由等体积法得V=1312(2222+22242+440-4)r=1623,解得r=22,所以四面体内切球的体积为V1=43r3=43223=23.则点P落在该四面体内切球内部的概率P=V1V=231623=16.17.解(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S6=36,可得6a1+652d=36,即2a1+5d=12.选:由a3=5,可得2a1+5d=12,a1+2d=5,解得a1=1,d=2,所以数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1.选:由a2+a4+a6=21,可得3a4=21
16、,即a4=7,所以2a1+5d=12,a1+3d=7,解得a1=1,d=2,所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1.(2)由(1)可得bn=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以Tn=b1+b2+bn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.18.(1)证明连接BD,则由菱形的性质可得ACBD,结合三角形中位线的性质可知OEBD,故OEAC.因为PO底面ABCD,AC底面ABCD,所以ACOP.因为OPOE=O,所以AC平面POE.因为PE平面POE,所以ACPE.(2)解连接OB,由题意结合菱形的性质易知OPO
17、A,OPOB,OAOB.以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.则P(0,0,4),B(0,33,0),O(0,0,0),E32,332,0.所以OP=(0,0,4),OE=32,332,0.设平面POE的一个法向量为m=(x,y,z),则mOP=4z=0,mOE=32x+332y=0,据此可得平面POE的一个法向量为m=(3,-1,0).而PB=(0,33,-4),设直线PB与平面POE所成角为,则sin=|PBm|PB|m|=33243=312986.(3)解存在满足题意的点F,理由如下:由题意可得D(-3,0,0),C(-6,33,0),A(3,0,0),假设满足题意的点
18、F存在,设F(x,y,z),DF=DC(01),据此可得(x+3,y,z)=(-3,33,0),即x=-3-3,y=33,z=0,从而点F的坐标为F(-3-3,33,0),据此可得BF=(-3-3,33-33,0),PA=(3,0,-4),结合题意有|BFPA|BF|PA|=9+959(+1)2+27(-1)2=3310,解得=12.故点F为CD中点时满足题意.19.解(1)由XN52,14,易知=52,=12,所以P(1X3)=P(-30,(*)x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.kOAkOB=-b2a2=-12,y1y2x1x2=-12.y1y2=-12x1x2
19、=-122m2-81+2k2=-m2-41+2k2,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k22m2-81+2k2+km-4km1+2k2+m2=m2-8k21+2k2,-m2-41+2k2=m2-8k21+2k2,-(m2-4)=m2-8k2,4k2+2=m2.OAOB=x1x2+y1y2=2m2-81+2k2-m2-41+2k2=m2-41+2k2=4k2+2-41+2k2=2-41+2k2,-2=2-4OAOB2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,OAOB取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,OAOB=2,OAO
20、B的最大值为2.证明:设原点到直线AB的距离为d,则SAOB=12|AB|d=121+k2|x2-x1|m|1+k2=|m|2(x1+x2)2-4x1x2=|m|2-4km1+2k22-42m2-81+2k2=|m|264k2m2-16(m2-4)m2=24k2-m2+4=22,S四边形ABCD=4SAOB=82,即四边形ABCD的面积为定值.21.(1)解f(x)=3x2+b,依题意得f12=0,即34+b=0.故b=-34.(2)证明由(1)知f(x)=x3-34x+c,f(x)=3x2-34.令f(x)=0,解得x=-12或x=12.f(x)与f(x)的情况为:x-,-12-12-12,
21、121212,+f(x)+0-0+f(x)c+14c-14因为f(1)=f-12=c+14,所以当c14时,f(x)只有小于-1的零点.由题设可知-14c14.当c=-14时,f(x)只有两个零点-12和1.当c=14时,f(x)只有两个零点-1和12.当-14c0,所以cos234.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则有t1+t2=4cos,t1t2=30,|PA|2+|PB|2=(|PA|+|PB|)2-2|PA|PB|=(|t1|+|t2|)2-2|t1|t2|=(t1+t2)2-2t1t2=16cos2-6(6,10,所以|PA|2+|PB|2的取值范围是(6,10.23.解(1)由题意得f(x)=-3x,x-12,x+2,-12x1,3x,x1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在区间0,+)内成立,因此a+b的最小值为5.