1、考纲要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。2理解数形结合的思想。3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。考情分析1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是近几年高考命题的热点。2常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇命题。3题型主要以解答题的形式出现，属于中高档题，有时也会以选择题、填空题的形式出现，属中低档题。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线。()(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是
2、 xa4。()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形。()解析：(1)错误。当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线。(2)错误。方程 yax2(a0)可化为 x21ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14a，准线方程是 y 14a。(3)错误。抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形。2抛物线 yax2 的焦点坐标是()A.a2，0 B.0，a2C.0，14a D.0，14a解析：将抛物线化为 x21ay，若 a0，则抛物线开口向下，焦点在 y 轴的负半轴上，焦点为0，14a；若 a0，同理可得焦点0，14a，故总有焦点坐标0，14a。答案
3、：C3抛物线 y2x2 的准线方程是()Ay1 By12Cy14 Dy18解析：将抛物线方程化为标准方程得 x212y。2p12，p218。准线方程为 yp218。答案：D4设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是()Ay28x By24xCy28x Dy24x解析：显然由准线方程 x2，可知抛物线为焦点在 x 轴正半轴上的标准方程，同时得 p4，所以标准方程为 y22px8x，答案为 C。答案：C5已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C交于 A，B 两点，|AB|12，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为()A18 B24C36 D48
4、解析：设抛物线方程为 y22px，则焦点坐标为(p2，0)，将 xp2代入 y22px 可得 y2p2，|AB|12，即 2p12，p6.点 P 在准线上，到 AB 的距离为 p6，所以PAB 的面积为1261236。答案：C知识重温一、必记 2个知识点1抛物线定义、标准方程及几何性质定义(几何条件)平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离_的点的轨迹叫做抛物线标准方程y22px(p0)_图形对称轴x 轴_y 轴_相等y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)x 轴y 轴顶点坐标O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)焦点坐标F(p2，0)_离心率 ee1e1_e1准线方
5、程_xp2yp2_焦半径公式|PF|x0p2|PF|x0p2_范围x0 x0_F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)e1xp2yp2|PF|y0p2|PF|y0p2y0y02.抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24，y1y2p2。(2)弦长|AB|x1x2p 2psin2(为弦 AB 的倾斜角)。(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切。(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p。二、必明 2个易误点1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨
6、迹是过定点且与直线垂直的直线。2抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p0，才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义。考点一 抛物线的定义及标准方程【典例 1】(1)已知点 M(3,2)，F 为抛物线 y22x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动，当|PM|PF|取最小值时，点 P 的坐标为_。(2)已知抛物线 y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相交C相切 D不确定(2,2)C解析：(1)如下图，由定义知|PF|PE|，故|PM|PF|PM|PE|ME|MN|312。显然，只有当点 P 在由点 M 向准线所作的垂线上时，距离之和最小，
7、此时点 P 的坐标为(2,2)。(2)如图所示，设抛物线焦点弦为 AB，中点为 M，准线为 l，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是 M 到 l 的距离|MN|12(|AA1|BB1|)12(|AF|BF|)12|AB|。故以 M 为圆心，以12|AB|为半径的圆与直线 l 相切。选 C。悟技法与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化。(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最
8、短”原理解决。(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解。通一类1已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()A1 B2C4 D8解析：由题意知抛物线的准线为 x14。因为|AF|54x0，根据抛物线的定义可得 x014|AF|54x0，解得 x01，故选 A。答案：A2(2016天津模拟)设抛物线 x24y 的焦点为 F，经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，点 P 为线段 AB 的中点，则|AF|BF|的值为_。解析：如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|BF|AA1|BB1|y
9、11y21y1y228210。答案：10考点二 抛物线的几何性质【典例 2】(1)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为 3，则 p()A1 B.32C2 D3(2)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点若FP4FQ，则|QF|()A.72B.52C3 D2CC解析：(1)因为双曲线的离心率 eca2，又 a2b2c2，所以 b3a，所以双曲线的渐近线方程为 ybax 3x，与抛物线的准线 xp2相
10、交于 Ap2，32 p，Bp2，32 p，所以AOB 的面积为12p2 3p 3，又 p0，所以 p2。(2)如图，过点 Q 作 QQl 交 l 于点 Q，因为FP4FQ，所以|PQ|PF|34，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以|QF|QQ|3。故选 C。悟技法1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性。2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数 p 的
11、几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。通一类3从抛物线 x24y 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5，设抛物线的焦点为 F，则MPF 的面积为_。解析：设 P(x0，y0)。由题意知，抛物线的准线方程为 y1，|PM|PF|5，y04，代入抛物线方程得|x0|4。SMPF12|PM|x0|125410。答案：104.如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b(ab)，原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y22px(p0)经过 C，F 两点，则ba_。解析：由题意可得 Ca2，a，Fa2b，b，则a2pab22pa2b，ba 21。答
12、案：21考点三 直线与抛物线的位置关系【典例 3】(2016沈阳模拟)已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9。(1)求该抛物线的方程。(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB，求 的值。解析：(1)由题意得直线 AB 的方程是 y2 2xp2，与 y22px 联立，从而有 4x25pxp20，所以 x1x25p4。由抛物线定义得|AB|x1x2p5p4 p9，所以 p4，从而抛物线的方程是 y28x。(2)由 p4 知 4x25pxp20 可化为 x25x40，从而 x11，x
13、24，y12 2，y24 2，从而 A(1，2 2)，B(4,4 2)。设OC(x3，y3)(1，2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)，又 y238x3，所以2 2(21)28(41)，即(21)241，解得 0 或 2。悟技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系。(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式。(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”
14、“整体代入”等解法。提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解。通一类5设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|()A.303B6C12 D7 3解析：抛物线 C：y23x 的焦点为 F34，0，所以 AB 所在的直线方程为 y 33 x34，将 y 33 x34 代入 y23x，消去 y 整理得 x2212x 9160.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 x1x2212，由抛物线的定义可得|AB|x1x2p212 3212，故选 C。答案：C高考模拟1(2016重庆一模)双曲线 C：x2a2y2b
15、21(a0，b0)的离心率为 2，双曲线 C 的渐近线与抛物线 y22px(p0)交于 A，B 两点，OAB(O为坐标原点)的面积为 4，则抛物线的方程为()Ay28x By24xCy22x Dy24 3xC解析：双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，双曲线 C 为等轴双曲线，即 ab，双曲线的渐近线方程为 yx。又双曲线C 的渐近线与抛物线 y22px 交于 A，B 两点，如图所示，设点 A(x，y)，|OM|x，|AM|y。又OAB 的面积为 xy4，x2，y2。又点 A 在抛物线上，222p2。解得 p1，抛物线的方程为 y22x。故选 C。2(2016福建一模)抛
16、物线 y22px(p0)的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO 的面积为 4 3，则抛物线方程为()Ay26xBy28xCy216x Dy2152 x解析：由题意，得 Fp2，0，准线方程为 xp2。|MF|4|OF|，|MF|2p。M 的横坐标为 2pp232p，M 的纵坐标为 y 3p。MFO 的面积为 4 3，12p2 3p4 3，p4，抛物线的方程为 y28x。故选 B。答案：B3(2016成都一诊)已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，直线 x2y40 与 C 交于 A，B 两点，则 sinAFB()A.45B.35C.34D.55解析：由抛
17、物线方程可知焦点 F 的坐标为(0,1)。联立直线与抛物线方程，得x2y40 x24y。得x2y1或x4y4。令 A(2,1)，则B(4,4)，|AB|3693 5，|AF|402，|BF|1695，在ABF 中，cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|42545225 45，sinAFB1162535，故选 B。答案：B4(2016河南一模)抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，已知点 A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB90。过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|MN|AB|的最大值为()A.22B.32C1 D.3A解析：如图所示，分别
18、过点 B，A 作准线的垂线，垂足为 P，Q。设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|。在梯形 ABPQ 中，有 2|MN|AQ|BP|ab。由勾股定理得|AB|2a2b2，配方得|AB|2(ab)22ab。又abab22，(ab)22ab(ab)22ab22，得|AB|22(ab)。|MN|AB|12ab22 ab 22，即|MN|AB|的最大值为 22。故选 A。5(2015陕西卷)若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线 x2y21 的一个焦点，则 p_。解析：双曲线 x2y21 的左焦点为(2，0)，故抛物线 y22px的准线为 x 2，p2 2，p2 2。答案：2 2
