1、广东省湛江市第四中学2022-2023学年度第一学期高二数学第一次月考卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分)第卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1设，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A或BCD或k12在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A B C或 Dl与斜交3过点且倾斜角为的直线方程为（）ABCD4已知，则下列结论正确的是（）ABCD以上都不对5已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（）A B C D6.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）AB
2、CD7在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）ABCD8在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9如果，那么直线经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（）A B C D11已知空间中三点，则下列说法正确的是（）A与是共线向量B与同向的单位向量是C和夹角的余弦值是D平面的一个法向量是12已知直线l1：3x+y30，直线l2：6
3、x+my+10，则下列表述正确的有（）A直线l2的斜率为. B若直线l1垂直于直线l2，则实数m18C直线l1倾斜角的正切值为3. D若直线l1平行于直线l2，则实数m2第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为_14已知分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对15.直线ax+y+a30恒过定点 （16题）16已知EFGH分别是正方体，边AB，CD，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为_.四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.下图是一个机器人手臂
4、的示意图该手臂分为三段，分别可用向量，代表(1)若用向量代表整条手臂，求； (2)求所代表的点与原点之间的距离18.已知的顶点坐标为，（1）试判断的形状；（2）求边上的高所在直线的方程19如图，已知平面，底面为正方形，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值20已知直线与直线（1）若，求m的值；（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程21如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F分别为AA1，AC，A1C1的中点，AB=BC=5，ACAA12（1）求证：AC平面BEF；（2）求点D与平面BEC1的距离；22 如图，在三棱
5、柱中，四边形是边长为的正方形，（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由参考答案：1D【分析】如图，求出可得斜率的取值范围.【详解】由题设可得，因为直线与线段相交，则或，故选：D.2C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线l的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或，故选：C.3D【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D4C5C6A7B【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.B8
6、.A【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，再根据向量的关系计算即可得答案.【详解】， ，即:，；平面，直线，所以当、最短时，平面，为的中心，为线段的中点，如图：又正四面体的棱长为1，平面，故选：A【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，再求解.【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.9ACD【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，因为，故，故直线经过第一象限、第三象限、第四象限，故选：A
7、CD.10BC【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果.【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.故选：BC.11BD【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；利用向量夹角公式计算可知C错误；根据法向量的求法可知D正确.【详解】对于A，可知，与不共线，A错误；对于B，即与同向的单位向量是，B正确；对于C，即和夹角的余弦值为，C错误；对于D，设平面的法向量，则，令，解得：，即平面的一个法向量为，D正确.故选：BD.12BD【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断
8、选项B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D【详解】解：直线l1：3x+y30，直线l2：6x+my+10，当m0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；当直线l1垂直于直线l2，则有36+1m0，解得m18，故选项B正确；直线l1的斜率为3，故倾斜角的正切值为3，故选项C错误；当直线l1平行于直线l2，则，解得m2，故选项D正确故选：BD13【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为，所以直线l的方程为，即故答案为：140【分析】计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直
9、，可得答案.【详解】因为，.所以中任意两个向量都不垂直，即，中任意两个平面都不垂直故答案为：0.15（1，3）【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：，所以，.设平面APC的法向量为，不妨设，则，设平面PBC的法向量为，不妨设，则，设为，则.故答案为：16【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】，设该正方体的棱长为，显然，于是有，所以，所以，因此异面直线EH与GF所成角的余弦值为，故答案为：17(1)(2)解(1)由题意(2) 由题意18（1）直角三角形；（2）
10、.【分析】(1)先求直线的斜率,再根据斜率关系即可判断;(2)由得边上高线所在直线的斜率为,进而根据点斜式求解即可.【详解】解：（1）,，为直角三角形（2）因为，所以，边上高线所在直线的斜率为直线的方程是，即19（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则.，所以,由于，所以平面.（2），设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.20（1），（2）或【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；（2）将点的坐标代入直线的
11、方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】解：（1）因为，所以，且，由，得，解得或（舍去）所以，（2）因为点在直线上，所以，得，所以点的坐标为，所以设直线的方程为（），令，则，令，则，因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，所以，解得或，所以直线的方程为或21【解答过程】（1）证明：由于ABBC，E是AC的中点，所以ACBE，由于E，F分别是AC，A1C1的中点，所以EFCC1，所以EF平面ABC，所以EFAC，由于BEEFE，所以AC平面BEF（2）解：由（1）可知EA，EB，EF两两相互垂直，以E为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，B（0，2，0），C1（1，0，2），设平面BEC1的法向量为m=(x1，y1，z1)，则mEB=2y1=0mEC1=x1+2z1=0，故可设m=(2，0，1)，D(1，0，1)，BD=(1，2，1)，所以D到平面BEC1的距离为|mBD|m|=35=35522.【详解】（1）在中，满足，所以，又，所以面，又面，所以，又四边形是边长为的正方形，所以，又，所以面，又平面，所以平面平面；（2）在线段上存在点，使得，且，理由如下：由（1）得，以点C为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，所以，解得，所以，要使，则需，即，解得，故.