1、 宁德一中 2023-2024 学年度第一学期期初高二阶段检测 数 学 试 题 (考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分 考试范围：第一章数列等比求和前)一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知公比为q 的等比数列 na的前n 项和2nnScq=+，*nN，且314S=，则4a=（）A48 B32 C16 D8 2记等差数列 na的前n 项和为nS，已知342aa=，则一定成立的是（）A25aa B1nnaa+B52d C 20592d D 20592d 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 2
2、0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9已知数列 na，nb均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（）A数列nna b是等比数列 B数列nnab+是等比数列 C数列 lgnnba是等差数列 D数列()22lgna b n是等差数列 10在数列 na中，221nnaap=（*2,nnpN为非零常数），则称 na为“等方差数列”，p 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A(3)n是等方差数列 B若正项等方差数列 na的首项11a=，且124,a a a 是等比数列，则nan=C等比数列不可能为等方差数列 D
3、存在数列 na既是等差数列，又是等方差数列 11下列说法中，正确的有（）A已知12nnaa+=，则数列 na是递减数列 B数列 na的通项22nankn=+，若 na为单调递增数列，则3k C已知正项等比数列 na，则有1845aaaa+D已知等差数列 na的前n 项和为24,4,10nSSS=，则618S=12数列 na满是()1N218nnan=，则（）A数列 na的最大项为6a B数列 na的最大项为5aC数列 na的最小项为5a D数列 na的最小项为4a 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知在等比数列an中，a3=7，S3=21，则公比 q=14在各项
4、均为正数的等比数列 na中，若243546216a aa aa a+=，则35aa+=15已知数列 na为 32，43，54，65，则该数列的一个通项公式可以是 16已知等差数列na，nb，其前 n 项和分别为nS，nT，且满足321nnSnTn+=，59aT=四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本题满分 10 分）有一批空气净化器，原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台单价都为 760 元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少 20 元，但每台最低不能
5、低于 440 元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类空气净化器，问去哪家商场购买花费较少？18（本题满分 12 分）已知函数11221(),2nnnf xxSffffnnnn=+=+，其中*Nn，且2n.(1)当2n 时，求nS；(2)设112a=，()()()*11,211nnnannSS+=+N，记数列 na的前n 项和为nT，求使得2nmT 恒成立的m 的最小正整数.19（本题满分 12 分）在等差数列 na中，已知公差0d，()42nnnSaa=+(1)求数列 na的通项公式；(2)若等差数列 nb满足32nnSnbnc=+，且1b，212 b，313b 成等比数列，
6、求 c 21（本题满分 12 分）已知数列 na满足11a=，且122nnnaa=+（2n，且*Nn）(1)求2a，3a；(2)求数列 na的通项公式na.22（本题满分 12 分）已知数列 na的通项为na，前n 项和为nS，且na 是nS 与 2 的等差中项，数列 nb中，11b=，点()1,nnP b b+在直线20 xy+=上.（1）求数列 na、nb的通项公式na、nb；（2）设 nb的前n 项和为nB，试比较12111nBBB+与2 的大小；（3）设1212nnnbbbTaaa=+，若对一切正整数n，()nTc cZ时，25aa，所以 A 错误，对于 B，1nnaad+=，当0d
7、时，1nnaa+时，nS 无最大值，所以此时数列 nS无最大项，所以 D 错误，3D 通过前几层小球的个数，可以发现规律，结合等差数列前 n 项求和公式计算得出结果.根据题意，设各层球的个数构成数列 na，由题意可知，1211,212,aaa=+=+3213123,123nnaaaann=+=+=+=+，则有()()1122nnnn na+=，故第六层球的个数66 7212a=，4C 由等比数列的定义和性质知34571aaqaa+=+，结合0q 可得.设数列 na公比为q，因数列 na各项均为正数，故0q，则()()464244571111135108aaa qa qqaa qqaaq+=+=
8、+=+=，得4116q=解得12q=或12q=（负值舍去）5C 首先化简等式，并结合等比数列的性质求得15,a a，再根据等比数列的基本量求7a.由题意，2151531515516108aaa aaaaa a+=+=，联立15151610a aaa=+=，则1528aa=或1582aa=因为na是递增的数列，得1528aa=，设等比数列na的公比为q，则4514aqa=47316aa q=.6D 根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式；设数列 na的首项为1a，公比为 q，因为1a，3a，2a 成等差数列，则3122aaa=+，即21112a qaa q=+，因为10a，所以可得
9、2210qq=，数列 na为各项为正数，解得1q=或12q=（舍），可得1naa=为常数列.7B 试题分析：由等差数列性质知3S、63SS、96SS成等差数列，即9，27，96SS成等差，9645SS=，78945aaa+=，故选 B 考点：等差数列的性质学科网（北京）股份有限公司8C 由题意可得91000aa，从而求出公差d 的取值范围.因为首项为 20的等差数列，从第10项起开始为正数，所以91000aa，即20802090dd+，解得 20592d，11a=，221(1)1naanppnp=+=+，所以22211appp=+=+，44131appp=+=+，因为124,a a a 是等比
10、数列，所以2214aa a=，所以131pp+=+，所以20pp=，因为0p，所以1p=，所以2nan=，又0na，所以nan=，故 B 正确；对于 C，设等比数列na的公比为q，则11nnaa q=，则当2n 时，2222222422421111(1)nnnnnaaa qa qa qq=，若22421(1)na qq为常数，则必有210q =，此时2210nnaa=，则数列na不可能是等方差数列，故 C 正确；对于 D，假设存在数列 na既是等差数列，又是等方差数列，则当2n 时，1nnaad=且221nnaap=(0)p，若0d=，则1nnaa=，则2210nnaap=，不合题意，若0d，
11、则11()()nnnnaaaap+=，得1nnpaad+=，又1nnaad=，所以22ndpad=+为常数，必有2210nnaa=，与假设矛盾，故存在数列 na既是等差数列，又是等方差数列.故 D 错误；11ABD 由12nnaa+=，可判定A；1210nnaank+=+恒成立，可判定B；根据11a=，2q，得到1845aaaa+，可判定 C；由24264,SSSSS构成等差数列，列出方程求得618S=，可判定 D.对于 A 中，由12nnaa+=，可得12nnaa+=，所以数列 na是递减数列，所以A 正确；对于 B 中，若数列 na的通项22nankn=+，则()()221(1)12221
12、0nnaank nnknnk+=+=+恒成立，所以3k+，所以 C 不正确；对于 D 中，等差数列 na的前n 项和为nS 且244,10SS=，根据24264,SSSSS构成等差数列，即64,6,10S 构成等差数列，可得64102 6S+=，解得618S=，所以 D 正确.12BD 根据条件()1N218nnan=，判断出数列 na的单调性即可求出结果.因为()1N218nnan=，所以11111112182182218218(218)(218)(218)(218)nnnnnnnnnnnaa+=，由10nnaa+，得到9218n，且易知，4n 时，0na，学科网（北京）股份有限公司所以12
13、345610016aaaaaa=所以数列 na的最大项为5a，最小项为4a，131 或12由 a3=7，S3=21，得到21117,14a qaa q=+=求解.解：因为在等比数列an中，a3=7，S3=21，所以21117,14a qaa q=+=，两式相除得：2210qq=，解得1q=或12q=，144由等比数列的性质求解即可.由243546216a aa aa a+=可得：223355216aa aa+=，则()23516aa+=，因为等比数列 na的各项均为正数，则354aa+=.1521nnan+=+（答案不唯一）分析数列 na前 4 项的特征，求出前 4 项都满足的一个通项公式作答
14、.依题意，312 422 532 642,21 1 32 1 43 1 54 1+=+，所以前 4 项都满足的一个通项公式为21nnan+=+.16 451运用等差数列的性质即可得出21nS 与na 的关系，从而得出结论.运用等差数列的性质()2121nnSna=,可得599,Sa=即9519aS=，由等差数列性质可知599911124991751aSTT=17若买少于 10 台，去乙商场花费较少；若买 10 台，去甲、乙商场花费一样；若买超过 10 台，去甲商场花费较少.设某单位需要购买 x 台空气净化器，甲、乙两商场的购货款的差价为 y，根据题意列出分段函数，求出0y=时对应的 x ，再根
15、据函数的单调性说明即可 设某单位需要购买 x 台空气净化器，甲、乙两商场的购货款的差价为 y，去甲商场购买共花费(80020)x x，由题意，有80020440 x，118x.()*(80020)800 75%,118440800 75%,18x xxxyxxx x=N，即()2*20020,118160,18xxxyxx x=N，当110 x；当10 x=时，0y=；当10 x 时，0y.所以，若买少于 10 台，去乙商场花费较少；若买 10 台，去甲、乙商场花费一样；若买超过 10 台，去甲商场花费较少.【点睛】本题考查分段函数的应用，解本类题的关键在于读懂题意，根据题意写出函数表达式，属
16、于基础题18(1)1nSn=(2)2（1）依据题给条件，利用等差数列前 n 项和公式即可求得nS；（2）先利用裂项相消法求得数列na的前 n 项和nT，再依据题给条件列出关于 m 的不等式，解之即可求得m 的最小整数（1）由()11221,2nnnf xxSffffnnnn=+=+，可得 11212111+2222nnnSnnnn=+12211(1)1+1222nnnn nnnnnnnn=+=，则当2n 时，1nSn=.（2）由（1）可得，当2n 时，1nSn=，则当2n 时，()()11111(1 1)(1)1 1nnnaSSnn+=+111(1)1n nnn=+，则当2n 时，数列na的前
17、 n 项和 1111111233411112nTnnn+=+=+，又当2n 时，13n+，11013n+，211131n+，学科网（北京）股份有限公司由2nmT 恒成立，可得12m，解之得2m，则当2n 时，使得2nmT 恒成立的 m 的最小整数为 2.当1n=时，112121Tam=成立，综上，使得2nmT 恒成立的 m 的最小整数为 2.19(1)11nan=(2)1280（1）根据已知条件求得公差d，由此求得na.（2）先判断na 的符号，根据等差数列前n 项和公式求得正确答案.（1）210ad=+，5104ad=+，7106ad=+，又2a，5a，7a 成等比数列，所以2(10)(10
18、6)(104)ddd+=+，化简得20dd+=，解得1d=或0d=，又0d，所以1d=，可得数列 na的通项公式10(1)11nann=；（2）由（1）得11nan=，由110nan=，得111n，由110nan=，所以126012111213606011|()()2aaaaaaaaaSS+=+=+16011160()11()2128022aaaa+=+=，所以1260|1280aaa+=.20(1)*()2nan nN=(2)12c=（1）利用11,2,1nnnSSnaS n=，可知数列 na为 2 为首项，2 为公差的等差数列，根据等差数列通项公式计算即可；（2）求数列 na的前 n 项和
19、为nS，根据等差数列及等比数列的性质可求出 c（1）因为()42nnnSaa=+，当2n 时，()11142nnnSaa+=两式相减得()()11112242222nnnnnnnnnaaaaaaaaa=+化简得()()()1112nnnnnnaaaaaa=+，0na，10nnaa+，12nnaa=当1n=时，()11142aaa+=，解得12a=或10a=（舍去）故数列 na是以 2 为首项，2 为公差的等差数列()()*2122Nnann n=+=（2）由（1）知，2(1)222nn nSnnn=+=+，2322nnnSnnbnncc+=+，111bc=+，262bc=+，3153bc=+，
20、1b，212 b，313b 成等比数列，22131123bbb=，即259(3)(1)(2)ccc=+，整理得：241670cc+=，72c=或12c=当12c=时，2nbn=，所以12nnbb（定值），满足 nb为等差数列，当72c=时，24227nnnbn=，125b=，24b=，330b=，不满足2132bbb=+，故此时数列 nb不为等差数列（舍去）综上可得12c=21(1)26a=；320a=(2)122nnan=（1）根据递推公式，赋值求23,a a；（2）首先变形递推公式，证明数列 2nna是等差数列，即可求通项公式.（1）当2n=时，221226aa=+=，当3n=时，3322
21、220aa=+=；（2）依题意，122nnnaa=+，两边同时除以2n，学科网（北京）股份有限公司得11122nnnnaa=+，即11122nnnnaa=，2n，*Nn，所以数列 2nna是首项为1122a=，公差为 1 的等差数列，即()1111222nnann=+=，所以122nnan=.22（1）2,21nnnabn=；（2）121112nBBB+；（3）3.（1）根据等差中项的性质列式，然后结合11,1,2nnnS naSSn=求得数列 na的通项公式.将 P 点坐标代入直线方程，由此证得 nb是等差数列，进而求得数列 nb的通项公式.（2）先求得nB，然后利用放缩法结合裂项求和法证得
22、121112nBBB+.（3）利用错位相减求和法求得nT，由此求得c 的最小值.（1）由于na 是nS 与 2 的等差中项，故22nnSa+=，当1n=时，12a=，当2n 时，22nnSa+=，1122nnSa+=，两式相减并化简得12nnaa=，故数列 na是首项为2，公比为2 的等比数列，所以2nna=.将()1,nnP b b+代入20 xy+=上，故12nnbb+=+，故 nb是首项为1，公差为2 的等差数列，故21nbn=.（2）依题意21212nnBnn+=，所以2222121111111123nBBBn+=+111111111111 22 3(1)2231nnnn+=+122n=，所以121112nBBB+.（3）22135212222nnnT=+，234111352122222nnnT+=+-得2331111122212222222nnnnT+=+，化简得21213322nnnnT=，所以满足条件nTc的最小整数值3c=.【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列通项公式的求法，考查等差中项的性质，考查裂项求和法与错位相减求和法，考查放缩法，属于中档题.
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