1、选修4-4 坐标系与参数方程 44.1 坐标系与简单曲线的极坐标方程最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程1平面直角坐标系下的伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换_的作用下，点P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系在平面内取一个定点O，由 O点引一条射线Ox，一个单位长度及计算角度的_(通常取_)，合称为一个极坐标系O 点称为极点
2、，Ox 称为极轴平面上任一点 M的位置可以由线段 OM 的长度 和从 Ox 到 OM 的角度 来刻画(如图所示)这两个数组成的_称为点 M 的极坐标，称为极径，称为极角【思考探究】1.极点的极坐标如何表示？0,0,:yyxx正方向逆时针方向有序数对（p,）提示：规定极点的极坐标是极径0，极角可取任意角3极坐标与直角坐标的转化设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面的关系式成立：x y ，或 2 tan .顺便指出，上式对 0)，则圆的极坐标方程是_至少有一个满足方程f(p,)=0F(p,)=0的点P=2acos(2)直线的极坐标方程直线l经过极点，从极轴到直
3、线l的角是，则直线l的极坐标方程为_ 或 (R)1在同一平面直角坐标系中，经过变换x5x，y3y后，曲线 C 变为 2x28y21，则曲线 C 的方程为()A50 x272y21 B9x2100y21C10 x224y21 D.2x2258y29 12已知极坐标平面内的点 P2，53，则 P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A.2，3，(1，3)B.2，3，(1，3)C.2，23，(1，3)D.2，23，(1，3)3(2016株洲模拟)在极坐标系中，直线 sin 4 2 被圆 4 截得的弦长为()A2 2 B2 3 C4 2 D4 34直线 cos 2 关于直线 4 对称的直线极坐
4、标方程为_ 5在极坐标系中，射线 3(0)与曲线 C1：4sin 异于极点的交点为 A，与曲线 C2：8sin 异于极点的交点为 B，则|AB|_.答案：1A 2.D 3.D 4.sin 2 5.2 3探究点一 平面直角坐标系中的伸缩变换)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：x3x，2yy，(1)求点 A13，2 经过 变换后所得的点 A的坐标；(2)求直线 l：y6x 经过 变换后所得的直线 l的方程；(3)求双曲线 C：x2y2641 经过 变换后所得到的曲线 C的焦点坐标解析：(1)设 A(x，y)，由伸缩变换：x3x，2yy得到x3x，y12y，由于 A(x，y)为13，2，x313
5、1，y12(2)1，A的坐标为(1，1)(2)设直线 l上任意一点 P(x，y)，则x13x，y2y，将x13x，y2y 代入 y6x 得 2y613x，即 yx，直线 l的方程为 yx.(3)设曲线 C上任意一点 P(x，y)，则x13x，y2y，将x13x，y2y代入 x2 y2641，得x29 4y264 1，化简得x29 y2161，曲线 C的方程为x29y2161.所以曲线 C仍为双曲线，且焦点坐标为 F1(5，0)，F2(5.0)总结反思：求满足图象变换的伸缩变换，其实质是坐标变换公式的应用解题过程中要分清新旧坐标，将其代入对应的直线方程，然后比较系数即可【变式训练】1.椭圆x24
6、y21 经过伸缩变换x12x，yy后的曲线方程为_解析：由x12x，yy得到x2x，yy.将代入x24y21 得4x24 y21，即 x2y21.因此椭圆x24y21 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2y21.答案：x2y21探究点二 极坐标与直角坐标的互化)从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值解析：(1)设动点 P 的极坐标为(，)，M 的极坐标为(0，)，则 012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程(2)将 3cos 化为直角坐标方程是 x2y23x，即x322
7、y2322，所以 P 的轨迹是以32，0 为圆心，半径为32的圆直线 l 的直角坐标方程是 x4.结合图形易得|RP|的最小值为 1.总结反思：直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验【变式训练】2.把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)cos 4；(2)5；(3)2rsin.解析：(1)把 cos x 代入上式，得它的直角坐标方程 x4.(2)
8、两边同时平方，得 225.把 2x2y2代入上式，得它的直角坐标方程 x2y225.(3)两边同时乘以，得 22rsin，把 2x2y2，sin y 代入上式，得它的直角坐标方程 x2y22ry，即 x2(yr)2r2.探究点三 求曲线的极坐标方程)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos 3 1，M、N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M、N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解析：(1)由 cos3 1，得 12cos 32 sin 1.从而 C 的直角
9、坐标方程为12x 32 y1，即 x3y2.当 0 时，2，所以 M(2，0)当 2时，2 33，所以 N2 33，2.(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为0，2 33.所以 P 点的直角坐标为1，33，则 P 点的极坐标为2 33，6，所以直线 OP 的极坐标方程为 6，(，)总结反思：求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程【变式训练】3.已知 P，Q 分别在AOB 的两边 OA，OB 上，AOB3，P
10、OQ 的面积为 8，求 PQ 中点 M 的轨迹的极坐标方程解析：建立如图所示极坐标系，设动点 M 的坐标为(，)03.P、Q 两点坐标分别为(1，0)，2，3.则有1212sin38，121sin 4，122sin(3)4，得：14212sin sin3 16，由得12323代入得 22 3sin sin3 0b0)的参数方程是_，其中 是参数椭圆x2b2y2a21(ab0)的参数方程是_，其中 是参数xarcos ybrsin xacos ybsin xbcos yasin 1直线的参数方程为xtsin 501，ytcos 50(t 为参数)，则直线的倾斜角为()A40 B50C140 D1
11、302将参数方程x3t22，yt21(0t5)化为普通方程为_3(2015邵阳模拟)若圆 C 的参数方程为x3cos 1，y3sin(为参数)，则圆 C 的圆心坐标为_，圆 C 与直线 xy30 的交点个数为_4已知曲线 C：x2cos ，y2sin(为参数)和直线 l：xt，ytb(t 为参数，b 为实数)，若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1，则 b_.5在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：xt1，y12t(t 为参数)与曲线 C2：xasin ，y3cos(为参数，a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a_.答案：1C 2.x3y50，x2，77 3.(1，0)2
12、4.2 5.32探究点一 参数方程化为普通方程)已知曲线 C1：x4cos t，y3sin t(t 为参数)，C2：x8cos ，y3sin(为参数)(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t2，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：x32t，y2t(t 为参数)距离的最小值解析：(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：x264y291.C1为圆心是(4，3)，半径为 1 的圆C2为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆(2)当 t2时，P(4，4)、Q(8cos，3s
13、in)，故 M24cos，232sin .C3为直线 x2y70，M 到 C3的距离 d 55|4cos 3sin 13|.从而当 cos 45，sin 35时，d 取得最小值8 55.总结反思：(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等(2)往往需要对参数方程进行变形，为消参创造条件【变式训练】1.将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线(1)x13t，y4t(t 为参数)；(2)x14cos t，y24sin t(t 为参数，0t)；(3)x2sin2，y1cos 2(为参数)解析：(1)由已知 t1x3，代入 y4t，
14、得 y4（1x）3，即 4x3y40，它表示的是一条直线(2)0t，3x5，2y2，由已知可得(x1)2(y2)216cos2t16sin2t16.(x1)2(y2)216(3x5，2y2)，它表示的曲线是以(1，2)为圆心，半径为 4 的上半圆(3)由 y1cos 2可得 y2sin2，把 sin2x2 代入 y2sin2可得 y2(x2)，即 2xy40，又x2sin22，3，所求的方程是 2xy40(2x3)，它表示的是一条线段探究点二 直线的参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为x4cos ，y4sin(为参数)，直线 l 经过点P(2，2)，倾斜角 3.(1)写
15、出圆的标准方程和直线 l 的参数方程；(2)设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA|PB|的值总结反思：根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，t2，则弦长 l|t1t2|；(2)定点 M0 是弦 M1M2的中点t1t20；(3)设弦 M1M2中点为 M，则点 M 对应的参数值 tMt1t22(由此可求|M2M|及中点坐标)解析：(1)由圆 C 的参数方程可得其标准方程为 x2y216.因为直线 l 过点 P(2，2)，倾斜角 3，所以直线 l 的参数方程为x2tcos3，y2tsin3，即x212t，y2
16、32 t(t 为参数)(2)把直线 l 的参数方程x212t，y2 32 t 代入圆 C：x2y216 中，得212t22 32 t216，t22(31)t80.设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，则 t1t28，即|PA|PB|8.【变式训练】2.已知直线l过点P(3，2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，求|PA|PB|取最小值时直线l的方程解析：设直线的倾斜角为，则它的参数方程为 x3tcos y2tsin(t 为参数)，由 A、B 是坐标轴上的点知 yA0，xB0，02tsin，即|PA|t|2sin，03tcos，即|PB|t|3cos.故|PA|PB|2sin
17、3cos 12sin 2.90180，当 2270，即 135时，|PA|PB|有最小值 直线方程为x3 22 t，y222 t(t 为参数)，化为普通方程为 xy50.探究点三 圆与圆锥曲线的参数方程及应用)已知椭圆 C1：xm2cos ，y 3sin(为参数)及抛物线 C2：y26x32.当 C1C2时，求 m 的取值范围解析：将椭圆 C1 的参数方程代入 C2：y26x32，整理得 3sin26m2cos 32，1cos22m4cos 3，即(cos 2)282m.1(cos 2)29，182m9，解得12m72.当 C1C2时，m12，72.总结反思：解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的
18、综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式解题中主要是通过互化来解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等【变式训练】3.已知P(x，y)是圆x2y22y0上的动点(1)求2xy的取值范围(2)若xyc0恒成立，求实数c的取值范围解析：方程 x2y22y0 变形为 x2(y1)21.其参数方程为xcos，y1sin(为参数)(1)2xy2cos sin 1 5sin()1(其中 由 sin 25，cos 15确定)1 52xy1 5.(2)若 xyc0 恒成立，即 c(cos sin 1)对一切 R 恒成立(cos sin 1)的最大值是 21.当且仅当 c 21 时，xyc0 恒
19、成立1将参数方程化为普通方程求解，是常用的方法2将参数方程化为普通方程时，会出现改变了变量取值范围的问题，导致两种方程表示的曲线不一致，因此要注意参数方程与普通方程的等价性.直线参数方程中参数几何意义的运用(2015河北唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 2(cos sin )(1)求 C 的直角坐标方程；(2)直线 l：x12t，y1 32 t(t 为参数)与曲线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于 E，求|EA|EB|的值解析：(1)在 2(cos sin)中，两边同乘，得 22(cos
20、 sin)，则 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.(2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，化简得 t2t10，点 E 对应的参数 t0，设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t21，t1t21，所以|EA|EB|t1|t2|t1t2|（t1t2）24t1t2 5.思维提升：经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M所对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到：t0t1t22；
21、|PM|t0|t1t22；|AB|t2t1|；|PA|PB|t1t2|.提醒：直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.【跟踪体验】(2015山西忻州第一次联考)在直角坐标平面内，直线 l 过点 P(1，1)，且倾斜角 4.以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为 4sin .(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，求|PA|PB|的值解析：(1)4sin，24sin，则 x2y24y0，即圆 C 的直角坐标方程为 x2y24y0.(2)由题意，得直线 l 的参数方程为x1 22 t，y1 22 t(t 为参数)将该方程代入圆 C 方程 x2y24y0，得1 22 t21 22 t241 22 t 0，即 t22，t1 2，t2 2.即|PA|PB|t1t2|2.友情提示 每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标44.2”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课 时 作 业4-4.2