1、20202021湛江市第二十一中学高一第二学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1设为虚数单位，复数满足，则复数（ ）A.B.1iC.1iD.1i2.设向量，且，则（ ）A.3B.2C.-2D.-33如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A.B.8C.6D.4.在中，角、所对的边分别为，已知，则（ ）A.45B.135C.45或135D.以上都不对5.已知正方体的表面积为24，设它的外接球的表面积为，它的内切球的体积为，则与的值分别为：（）A.，B.，C.，D.，6.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔
2、的同一侧选择、两观测点，且在、两点测得塔顶的仰角分别为45、30，在水平面上测得，、两地相距，则电视塔的高度是（ ）A.B.C.D.7.在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A.B.C.D.8.已知直三棱柱的侧棱长为2，.过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9.已知，为三条不重合的直线，为三个不重合的平面其中正确的命题是（ ）A.，B.，C.，D.，10.下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）A.已知，均为非零向量，则存
3、在唯一的实数，使得B.若向量，共线，则点，必在同一直线上C.若点为的重心，则D.若且，则11.在中，角，所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ）A. 若，则B.若，则为钝角三角形C.若，则符合条件的三角形不存在D.若，则为直角三角形12.如图，直三棱柱中，侧面中心为，点是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）A直三棱柱侧面积是B. 直三棱柱体积是C. 三棱锥的体积为定值D.的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量，则_.14如图，在三棱柱中，底面，则直线与所成角的大小为_.15.已知，分别是内角，的对边，当时，面积的最大值为_.16.正方体的棱长是4，是的中
4、点，是的中点，点在正方形及其内部运动，若平面，则点的轨迹的长度是_.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.复数（1）若为纯虚数求实数的值，及在复平面内对应的点的坐标；（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.18.已知，.（1）求；（2）求向量与的夹角的余弦值.19.如图，在平面四边形中，.（1）求的值;（2）若，求的长.20.如图，四棱锥的底边是正方形，点、点分别是线段、的中点，.证明：平面；若是四棱锥的高，求三棱锥的体积.21.在中，内角，所对的边分别为，（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值.22.如图1，在直角梯形中，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图2
5、）.为中点问题：在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.数学答案一、二选择题123456789101112DDBAABACADBDACDACD三、填空题13.2814.6015.16.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.【解析】因为，所以（1）若为纯虚数，则，解得：，此时，在复平面内对应的点的坐标为：，所以为纯虚数时实数，在复平面内对应的点的坐标为：（2）若在复平面内对应的点位于三象限，则，解得所以在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围：.18.解：（1）已知，.（2）设向量与的夹角为，则.19.【答案】（1） （2）3 【解析】（1）由关于的余弦
6、定理可得，所以.（2）因为为四边形内角，所以且，则由正余弦的关系可得且，再由正弦的和差角公式可得，再由的正弦定理可得.20.【答案】解：证明：取的中点为，连接，四边形是正方形，分别是线段，的中点，且，且，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面；（2）平面，到平面的距离等于到平面距离，而，是三棱锥的高，即三棱锥的体积为21.解：由题意知，由正弦定理得：，由得，则，又，则，化简得，又，所以；（2）因为的面积为，所以，得，因为，由余弦定理得，所以，解得.22.解：存在点，使得平面，且；过点作交于点，则，过点作交于点，连接，则，又因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又因为，平面，平面，所以平面平面.因为平面，所以平面.所以在上存在点，使得平面，且.