1、选修4-5 不等式选讲 45.1 含有绝对值的不等式最新考纲 1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法1绝对值三角不等式定理1 如果a，b是实数，则|ab|_，当且仅当_时，等号成立定理2 如果a，b，c是实数，那么_，当且仅当_时，等号成立【思考探究】绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？|a|b|ab0|ac|ab|bc|(ab)(bc)0提示：当a，b不共线时，|ab|a|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x
2、|a 的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa 或 xax|xR 且 x0R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|c_；|axb|c_caxbcaxbc或axbc1若不等式|ax2|2，|2；|3.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.解析：|则与同号或至少有一个为0，故成立；再由得|4 3，故成立答案：总结反思：(1)该定理可以强化为：|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式(2)当ab0时，|ab|a|b|；当ab0时，|ab|a|b|，这两个结论在解题时经常用到，应熟练掌握【变式训练
3、】1.“|xA|2，且|yA|2”是“|xy|”(x，y，A，R)的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若|xA|2，|yA|2，则有|xy|xAAy|(xA)(Ay)|xA|yA|22.|xA|2，|yA|2是|xy|成立的充分条件 反之，若|xy|，则可以取|xA|34，|yA|4使得条件|xA|2，|yA|2得不到满足 因此，|xA|2，|yA|2是|xy|成立的充分而不必要条件 答案：A探究点二 绝对值不等式的解法)设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围解析：(1)当 a1
4、 时，f(x)|x1|x1|，由 f(x)3 得|x1|x1|3，由绝对值的几何意义知不等式的解集为xx32或x32.(2)f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|，|a1|2，解得 a1 或 a3.总结反思：解|xa|xb|c(或c)型的不等式，其一般步骤如下(1)令每个绝对值符号里面的因式等于零，求出相应的零点；(2)把上述零点由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，组成若干个不等式，解这些不等式，求出相应的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集【变式训练】2.(2016乌鲁木齐高三诊断性测验)设函数 f(x)|x1|
5、x2|.(1)求证：f(x)1；(2)若 f(x)a22a21成立，求 x 的取值范围解析：(1)证明：f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|1.(2)a22a21a211a21a211a212，要使 f(x)a22a21成立，需且只需|x1|x2|2，即x1，1x2x2或1x2，x12x2或x2，x1x22，解得 x12或 x52，故 x 的取值范围是，12 52，.探究点三 绝对值不等式的证明)设 aR，函数 f(x)ax2xa(1x1)，若|a|1，求证：|f(x)|54.证明：1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|x|
6、1225454.总结反思：含绝对值不等式的证明题主要分两类，一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明【变式训练】3.设f(x)x2x43，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明：|f(x)f(a)|x2x43a2a43|(xa)(xa1)|xa|xa1|.|xa|1，|x|a|xa|1.|x|a|1.|
7、f(x)f(a)|xa|xa1|xa1|x|a|12(|a|1)1熟练掌握绝对值不等式的基本解法2充分利用绝对值的几何意义处理绝对值不等式，更直观、简捷3注意绝对值三角不等式的运用.绝对值不等式的应用已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)1，且当 xa2，12 时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围解析：(1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数 y|2x1|2x2|x3，则 y5x，x1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x(0，2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0 x2(2)当 xa2，12
8、 时，f(x)1a，不等式 f(x)g(x)化为 1ax3，所以 xa2 对 xa2，12 都成立，应有a2a2，则 a43，从而实数 a 的取值范围是1，43.思维提升：研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函数只有最小值，形如y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小值【跟踪体验】(2015唐山市第一次模拟)已知函数f(x)|2xa|a，aR，g(x)|2x1|.若当xR时，恒有f(x)g(x)3，求a的取值范围解
9、析：f(x)g(x)|2xa|2x1|a|2xa2x1|a|a1|a，当且仅当(2xa)(2x1)0时等号成立解不等式|a1|a3，得a的取值范围是2，)友情提示 每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标45.1”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课 时 作 业4-5.145.2 几个重要不等式的证明及其应用最新考纲 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式1三个正数的算术几何平均不等式 定理：如果 a、b、c(0，)，则 a3b3c33abc(当且仅当 abc 时取“”)推论：如
10、果 a、b、c(0，)，则abc33 abc(当且仅当 abc 时取“”)2一般形式的平均值不等式 如果 ai(0，)(n1，2，n)，则a1a2ann n a1a2an(当且仅当 a1a2an 时取“”)3平均值不等式的变形 如果 ai(0，)(n1，2，n)，则：n1a1 1a2 1ann a1a2an(当且仅当 a1a2an 时取“”)a1a2anna21a22a2nn(当且仅当 a1a2an 时取“”)4证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道 abab0，ababb，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由 ab0ab1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明 ab
11、，_证明ab1 即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立ab0只要充分条件相反(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简，并使它与不等
12、式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题 P1(或 P0)成立；(2)在假设 Pk成立的前提下，推出 Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切自然数成立放大或缩小1若 a0，b0，a，b 的等差中项是12，且 a1a，b1b，则 的最小值为()A2 B3 C4 D52设 a0，b0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a1b的最小值为()A8 B4C1 D.143若直线 3x4y2，则 x2y2 的最小值为_，最小值点为_4若 a，b 均为正实数，且 ab，M ab ba，Na b，则 M、N 的大小关系
13、为_答案：1D 2.B 3.425 625，825 4.MN探究点一 用基本不等式求最值)(1)已知 x2y1，x，y(0，)，求 x2y 的最大值；(2)已知 a，b，cR，且 abc1，求 3a1 3b1 3c1的最大值解析：(1)x，y(0，)，x2y14xx4y14xx4y33 142x2y33 227，当 x4y，即 x23，y16时取等号 x2y 的最大值为 227.(2)(3a13b13c1)2 (3a 1)(3b 1)(3c 1)23a1 3b1 23b1 3c1 23a13c1(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1
14、)(3b1)(3c1)18，3a13b13c13 2，(3a13b13c1)max3 2.总结反思：利用基本不等式求最值，实质上就是利用基本不等式进行放缩，在放缩过程中要注意两点，一是要注意“放”或“缩”的结果是否为常数，二是要注意“放”或“缩”的过程中等号成立的条件是否满足【变式训练】1.(1)设 abc0，则 2a2 1ab1a（ab）10ac25c2的最小值是()A1 B2C3 D4(2)已知 a，b，c(0，)，且1a2b3c2，求 a2b3c 的最小值及取得最小值时 a，b，c 的值(1)解析：2a2 1ab1a（ab）10ac25c2(a5c)2a2abab 1ab1a（ab）(a
15、5c)2ab 1aba(ab)1a（ab）0224.当且仅当 a5c0，ab1，a(ab)1 时等号成立，如取 a 2，b 22，c 25 满足条件，故选 D.答案：D(2)解析：1a2b3c(a2b3c)1a22b23c2(a)2(2b)2(3c)2 1aa2b2b3c3c236.又1a2b3c2，a2b3c18，当且仅当1aa2b2b3c3c，即 abc3 时等号成立 当 abc3 时，a2b3c 取得最小值 18.探究点二 不等式证明)已知 a，b，c(0，)，且 abc1，求证：(1)1a1 1b1 1c1 8；(2)a b c 3证明：(1)a，b，c(0，)，ab2ab，bc2 b
16、c，ca2 ca，1a1 1b1 1c1（bc）（ac）（ab）abc 2 bc2ac2ababc8.(2)a，b，c(0，)，ab2ab，bc2 bc，ca2 ca，2(abc)2ab2 bc2ca，两边同加 abc 得 3(abc)abc2ab2bc2 ca(abc)2.又 abc1，(abc)23，abc3.总结反思：(1)比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要方法之一，可分为差值比较(作差法)和商值(作商法)比较(2)综合法：从不等式的性质和有关定理、已知成立的不等式出发经过逻辑推理，最后达到要证明的结论(3)分析法：从待证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至找到一个明显成
17、立的结论分析法要注意叙述的形式：“要证A，只需证B”，这里B是A成立的充分条件分析法和综合法是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，综合法便于叙述，因而在解题中经常结合使用【变式训练】2.设 a，b，c0，且 abbcca1.求证：(1)abc3；(2)abcbaccab3(abc)证明：(1)要证 abc 3，由于 a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(当且仅
18、当 abc 时等号成立)证得 原不等式成立(2)abcbaccababcabc.在(1)中已证 abc 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc a b c.即证 a bcb acc ab1，即证 a bcb acc ababbcca.而 a bcabacabac2，b acabbc2，c abbcac2.a bcb acc ababbcca(abc 33 时等号成立)原不等式成立已知 a，b，c(0，)，求证：2ab2 ab 3abc33abc.证明：欲证 2ab2ab 3abc3 3 abc，只需证 ab2ababc3 3 abc，即证 c2ab3 3 abc，a，b，c(0，)，c2a
19、bcabab33cabab3 3 abc，c2ab3 3 abc成立，故原不等式成立【变式训练】3.已知 a、b、x、y(0，)，且1a1b，xy.求证：xxa yyb.证明：(分析法)x、y、a、b(0，)，要证 xxa yyb，只需证明 x(yb)y(xa)，即证 xbya.而由1a1b0，ba0.又 xy0，知 xbya 显然成立故原不等式成立1证明不等式除了比较法、综合法、分析法，还可运用反证法、放缩法、数学归纳法等证明不等式时既可探索新的方法，也可一题多证开阔思路2运用柯西不等式的关键是巧妙地构造两组数，并向柯西不等式的形式进行转化.柯西不等式的应用已知定义在R上的函数f(x)|x1
20、|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解析：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3.(2)证明：由(1)知 pqr3，又因为 p，q，r 是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即 p2q2r23.思维提升：利用柯西不等式求最值的一般结构为(a21a22a2n)1a21 1a22 1a2n(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件【跟踪体验】1设 a、b、c 是正实数，且 abc
21、9，则2a2b2c的最小值为_2已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，求证：1a2.1.解析：(abc)2a2b2c(a)2(b)2(c)22a22b22c2 a2a b2b c2c218，2a2b2c2.2a2b2c的最小值为 2.答案：22解析：已知实数 a，b，c，d 满足 abcd3，a22b23c26d25，求证：1a2.证明：由柯西不等式得(2b23c26d2)121316(bcd)2，即 2b23c26d2(bcd)2，由已知可得 2b23c26d25a2，bcd3a，5a2(3a)2，即 1a2.当且仅当2b123c13 6d16，即 2b3c6d 时等号成立 友情提示 每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标45.2”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课 时 作 业4-5.2