1、第二章 圆锥曲线与方程25 直线与圆锥曲线第二章 圆锥曲线与方程 1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系 2.能用坐标法解决直线与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题3体会数形结合思想栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有_、_、_三种情况2圆锥曲线的弦直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段长就是弦长.相交相切相离栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1直线 ykx2 与抛物线 y28x 只有一个公共点，则 k 值为()A1B1
2、 或 3C0D1 或 0答案：D栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2当直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线一定相切吗？解：不一定(1)当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交；(2)当直线与抛物线的对称轴不平行且两者只有一个公共点时，直线与抛物线相切栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 直线与圆锥曲线交点的个数 k 为何值时，直线 ykx2 和曲线 2x23y26 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程【解】联立两方程得ykx22
3、x23y26，整理得(23k2)x212kx60，因为 24(3k22)，当 0 时，即 k 63 或 k 63 时，直线与曲线有两个公共点 当 0 时，即 k 63 时，直线与曲线有一个公共点 当 0 时，即 63 k0，1k20，解得2 33 k2 33，且 k1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点 故当2 33 k1 或1k1 或 1k2 33 时，直线与双曲线有两个公共点 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(2)当 1k20，即 k1 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，方程化为 2x5，故方程(*)只有一个实数解，即直线
4、与双曲线相交，且只有一个公共点；由43k20，1k20，解得 k2 33，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点 故当 k1 或 k2 33 时，直线与双曲线有且只有一个公共点 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(3)由43k20，1k20，解得 k2 33，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线没有公共点 故当 k2 33 时，直线与双曲线没有公共点栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 弦长问题 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x24 y21 的右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的
5、长【解】因为 a24，b21，所以 c a2b2 3，所以右焦点 F(3，0)，所以直线 l 的方程为 yx 3.由yx 3，x24 y21，消去 y 并整理得 5x28 3x80.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28 35，x1x285，所以|AB|(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(x1 3x2 3)2 2(x1x2)2 2(x1x2)24x1x228 352485 85，即弦 AB 的长为85.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程弦
6、长的求法(1)求出直线与圆锥曲线的交点，利用两点间的距离公式求弦长；(2)设而不求设直线 ykxm(kR，mR)，弦长|AB|，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与圆锥曲线的方程，消去 y(或 x)得关于 x(或 y)的一元二次方程，利用弦长公式|AB|(x1x2)2(y1y2)2 1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x2求解 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 双曲线 x2y2b21(b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A，B 两点(1)若 l 的倾斜角为2，F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线
7、方程；(2)设 b 3，若 l 的斜率存在，且|AB|4，求 l 的斜率解：(1)设 A(xA，yA)由题意，F2(c，0)，c 1b2，y2Ab2(c21)b4，因为F1AB 是等边三角形，所以 2c 3|yA|，即 4(1b2)3b4，解得 b22.故双曲线的渐近线方程为 y 2x.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(2)由已知 F2(2，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：yk(x2)由x2y231yk(x2)，得(k23)x24k2x4k230.因为 l 与双曲线交于两点，所以 k230，且 36(1k2)0.由 x1x2 4k
8、2k23，x1x24k23k23，解(x1x2)236(k21)(k23)2，故|AB|(x1x2)2(y1y2)2 1k2|x1x2|6(k21)|k23|4，解得 k235，故 l 的斜率为 155.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 中点弦问题 过椭圆x216y241 内一点 P(2，1)作一条直线交椭圆于 A、B 两点，使线段 AB 被 P 点平分，求此直线的方程栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程【解】法一：如图，设所求直线的方程为 y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k
9、1)2160，(*)又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1、x2 是(*)方程的两个根，所以 x1x28(2k2k)4k21.因为 P 为弦 AB 的中点，所以 2x1x224(2k2k)4k21.解得 k12，所以所求直线的方程为 x2y40.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 P 为弦 AB 的中点，所以 x1x24，y1y22.又因为 A、B 在椭圆上，所以 x214y2116，x224y2216.两式相减，得(x21x22)4(y21y22)0，即(x1
10、x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.所以y1y2x1x2(x1x2)4(y1y2)12，即 kAB12.所以所求直线方程为 y112(x2)，即 x2y40.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程解决中点弦问题的两种常用方法(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 已知抛物线 y24x，求以点 P(4，1)为中点的抛物线弦 AB 所在直线的方程解：法一：由条件可知直线 AB 的斜率存在
11、，且不为 0，设 lAB：m(y1)x4，即 xmy4m.代入抛物线的方程得 y24my164m0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m.又 y1y2212，所以 4m2，m12且满足 0.所以弦 AB 所在直线的方程为 2xy70.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2，则y224x2，y214x1，所以 y22y214(x2x1)，即y2y1x2x1(y1y2)4.又 y1y22，ky2y1x2x1，所以 2k4，k2，所以弦 AB 所在直线的方程为 y12(x4)，即 2xy7
12、0.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1判断直线与圆锥曲线的交点个数问题其基本方法是讨论由直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组的解的个数进而消元化成只有一个未知数的一元二次方程的解的个数，通过判别式来判定在解答过程中要注意两点：一是二次项系数是否为零；二是对于变量的取值受到特别限制的情况要数形结合栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2圆锥曲线中弦的中点问题(1)若题目条件中含有中点，则隐含了直线与圆锥曲线的位置关系是相交，直线与圆锥曲线联立，消元后的一元二次方程 应大于 0，一般用来限制参数的取值范围(2)解题过程中交点
13、 P(x1，y1)，Q(x2，y2)与中点 M(x0，y0)的关系是x0 x1x22y0y1y22，然后根据根与系数的关系，求 x1x2 或 y1y2，再利用直线的方程求 y1y2 或 x1x2，从而构造中点坐标栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程当直线与圆锥曲线相交时一定注意对直线斜率是否存在进行讨论，同时，当直线过 x 轴上一个定点(c，0)时，直线方程设为 xmyc，此种设法，在抛物线中运用，显得更为方便栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1“直线与双曲线有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的()A充分不必要条件 B
14、必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：B栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则 m 的取值范围是()Am1Bm1 且 m3Cm3Dm0 且 m3答案：B栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程3直线 ya 与椭圆x23 y221 恒有两个不同的交点，则 a 的取值范围是_答案：(2，2)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程4已知双曲线 y2x22 1 与不过原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 相关交于 M，N 两点，线段
15、 MN 的中点为 P，设直线 l的斜率为 k1，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2()A12 B12C2 D2栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程解析：选 A设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则 y21x212 1，y22x222 1，根据点差法可得(y1y2)(y1y2)(x1x2)(x1x2)2，所以直线 l 的斜率为 k1y1y2x1x2 x1x22(y1y2)x02y0，直线 OP 的斜率为 k2y0 x0，k1k2 x02y0y0 x012，故选 A栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放