1、#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#120232024 学年第一学期福州市高中毕业班开门考数 学 试 题（完卷时间：120 分钟；满分:150 分）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 到
2、2 页，第卷 3至 4 页注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效3.考试结束，考生必须将答题卡交回第 卷一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数 z 满足 11iz ，则在复平面内，z 对应的点在A第
3、一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性【答案】A【解析】由 11iz 得11i1i2z，应选 A2.已知集合210Ax xBx x，则 AB A0 1，B0 ，C1，D ，【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性【答案】C【解析】110AxxBx x，故 AB(1,)，应选 C3.已知点02P x，在抛物线2:4C yx上，则 P 到 C 的准线
4、的距离为A4B3C2D1#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#2【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性【答案】C【解析】抛物线24yx的准线为1x ，由 PC得01x ，故 P 到准线的距离为 2，应选 C4.“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗他准备在春季的 6 个节气与夏季的
5、6 个节气中共选出 3 个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出 1 个，则小明选取节气的不同情况的种数是A90B180C270D360【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性【答案】B【解析】根据题意可知，小明可以选取 1 春 2 夏或 2 春 1 夏其中 1 春 2 夏的不同情况有：1662CC90种；2 春 1 夏的不同情况有：1662CC90种，所以小明选取节气的不同情况有：9090 180 种应选 B5.一个正四棱台形油槽可以装煤油3190 000 cm，其上、
6、下底面边长分别为 60 cm 和 40 cm，则该油槽的深度为A 75 cm4B 25 cmC 50 cmD 75 cm【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性【答案】D【解析】设正四棱台的高，即深度为 h cm，依题意，得22190 000604060403h，解得75h，应选 D6.一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红球，2 个黄球，每次从中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回则第二次摸到黄球
7、的条件下，第一次摸到红球的概率为#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#3A 13B 12C 23D 34【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性【答案】C【解析】解法一：记第 i 次摸到红球为事件iA，摸到黄球为事件iB（1 2i ，），则2P B 1211211211123232P A P B AP BP B B，12121221433P A BP A P B A，故1212
8、2()2()()3P A BP A BP B应选 C解法二：记第 i 次摸到红球为事件iA，摸到黄球为事件iB（1 2i ，）由抽签的公平性可知22142P B，又12221433P A B，所以12122()2()()3P A BP A BP B应选 C7.已知1ea，ln2b，5ln5c，则A abc Bbca C acb D cab【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】A【解答】解法一：1lneeea，ln2ln4ln224b，5ln5l
9、n 55c，令 ln xf xx，fx21ln xx，当ex 时，0fx，故 f x 在区间e ，上单调递减，所以 abc 解 法 二：因 为105101052232255，所 以5ln2ln5，即 bc在同一坐标系中作出函数 22xf xg xx，的图象，如图所示，由图可知，ef eg，即e22e，所以e22e2e2e，即11e22e，所以 111ln2lne2ee，即 ba（令 ln xf xx，fx21ln xx，当 0ex时，0fx，故 f x 在区间0 e，上单调递增，所以1lneln2ln2ee2ab）#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFA
10、EoAIBCBNABAA=#4综上，abc 应选 A8.若定义在 R 上的函数 sincosf xxx（0）的图象在区间0，上恰有 5 条对称轴，则 的取值范围为A 172144，B 172544，C 172544，D 334144，【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性【答案】A【解析】由已知，2sin4f xx，令=42xk，kZ，得(41)4kx，kZ，依题意知，有 5 个整数 k 满足(41)04k，即 0414k，所
11、以0k，1，2，3，4，则 44144 51，故 172144，应选 A二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81以下关于这组数据判断正确的有A极差为 13B中位数为 82C平均数为 79D方差为 124【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性【答案】AC10.已知圆:M
12、221xy，直线:31l yk x，则Al 恒过定点31，B若l 平分圆周 M，则33k C当3k 时，l 与圆 M 相切D当33k时，l 与圆 M 相交【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性【答案】BC【解析】依题意，l 恒过定点31，选项 A 错误；#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#5若l 平分圆周 M，则l 经过圆 M 的圆心0 0，代入直线方程得33k，选项 B 正确；圆心0 0O，到l 的
13、距离2311kdk，当3k 时，1dr，l 与圆 M 相切，选项 C正确；若l 与圆 M 相交，则1d ，即22311kk，即 03k，故选项 D 错误综上，应选 BC11.已知函数 332f xxax有两个极值点则A fx 的图象关于点0 2，对称B fx 的极值之和为 4C a R，使得 fx 有三个零点D当 01a 时，()f x 只有一个零点【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】ACD【解答】fx 的图象可由奇函数 33g xxax的图象向
14、上平移 2 个单位长度得到，故 fx 的图象关于点0 2，对称，选项 A 正确设 fx的 极 值 点 分 别 为12xx，（12xx），则 由 对 称 性 可 知120 xx，故1fx2224fx，即 fx 的极值之和为 4，选项 B 错误依题意，方程 2330fxxa有两异根，则120axaxa ，fx 在区间a，上单调递增，在区间aa，上单调递减，在区间a，单调递增由图象可知，当120fxfx时，fx 的图象与 x 轴有 3 个交点，即 fx 有 3 个零点，选项C 正确当 01a 时，322 10faa aa aa a，此时 fx 只有一个零点，选项 D 正确综上，应选 ACD12.已知
15、正四棱柱1111ABCDA B C D的底面边长为 2，球 O 与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切 P 为平面1CDD 上一点，且直线 BP 与球 O 相切，则A球 O 的表面积为 4B直线1BD 与 BP夹角等于 45C该正四棱柱的侧面积为16 2D侧面11ABB A 与球面的交线长为 2【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性【答案】BCD#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAI
16、BCBNABAA=#6【解答】如图，设球 O 与下底面相切于点1O，则1OO 平面 ABCD，连接1O A，则1OAO为直线 OA 与平面 ABCD 所成的角因为球 O 与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径112ROOO A，所以4 28S表，四棱柱的侧面积为242 216 2，故选项A 错误，C 正确依题意，1BBBP，均为球 O 的切线，1BD 经过球心 O，所以111B BDPBD，又1112 2B DBB，所以111PBDB BD 45，选项 B 正确对于选项 D，棱1AA 的中点 F，即球 O 与棱1AA 的切点应为交线上的点，故交线应为过 F 的圆截面圆的圆心即为矩形11ABB A 的
17、中心 E，在 RtOEF中，2OFR，112OEBC，所以截面圆半径211rEF，周长为 2，该选项正确综上，应选 BCD第卷注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知向量1 212ab，若ab，则实数 的值为【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性【答案】5【解析】由ab 得12 20，解得5 14.将圆周 16 等分，设每份圆弧所对的圆心角为，则 sincos 的值为
18、【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性【答案】24【解析】依题意，得8，所以112sincossin 2sin224415.已知定义域为 R 的函数 fx 同时具有下列三个性质，则 fx（写出一个满足条件的函数即可）fxyfxfy；fx是偶函数；当0 xy时，0fxfy#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#7【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；
19、体现基础性、综合性与应用性【答案】x（答案不唯一，0kx k 均可）16.已知双曲线2222:1xyC ab（00ab，）的左焦点为 F，两条渐近线分别为 12ll，点A 在 1l 上，点 B 在2l 上，且点 A 位于第一象限，原点 O 与 B 关于直线 AF 对称若2AFb，则 C 的离心率为【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性【答案】2【解答】依题意，1l 的方程为byxa，2AFl，设
20、垂足为 P，则 FPb因为2AFb 2 FP，所以点 FA，关于直线 2l 对称，FOPAOP，又 12ll，关于 y 轴对称，所以 1l 的倾斜角为 1 180603 ，故tan 60ba 3，所以离心率2212bea四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）已知等比数列 na的前 n 项和为nS，且12nnaS（1）求 na的通项公式；（2）若221lognnba，求数列 nb的前 n 项和nT【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归
21、与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性满分 10 分【解答】（1）解法一：由12nnaS 得213222aSaS，1 分设等比数列 na的公比为 q，所以1211212a qa qq，2 分解得122aq，或120aq ，（舍去）4 分#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#8所以2nna 5 分（2）212212loglog 221nnnban，7 分故11b ，1212(1)12nnbbnn（2n），所以 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列，
22、所以1212122nnn bbnnTn 10 分解法二：（1）因为12nnaS，所以当2n时，12nnaS，1 分得12nnaa，2 分所以等比数列 na的公比12nnaqa 3 分由式得212aa，得12a，4 分所以2nna 5 分（2）12nnTbbb2123221logloglognaaa21321logna aa 7 分1 3212log 2n 12122log 2nn2n10 分18.（本小题满分 12 分）记ABC的内角 A B C，所对的边分别为 a b c，已知2b，6B（1）若2c，求 a；（2）求ABC面积的最大值【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换
23、等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性满分 12 分【解答】解法一：（1）因为2b，2c，6B，根据余弦定理得2222cosbacacB，所以222224o 6c saa，3 分#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#9即22 320aa，解得31a 6 分（2）根据余弦定理,得2222cosbacacB,所以222222cos323236acacacacacacac，8 分（当且仅当31ac 时取等号），9 分即2
24、2 2323ac，所以ABC面积111123sinsin2 23226442ABCSacBacac，即ABC面积的最大值为 23212 分解法二：（1）因为2b，2c 且6B,根据正弦定理,得 sinsinbcBC,所以22sinsin 6C，即2sin2C，1 分因为 cb，所以CB，所以 566C，所以4C 或34C，2 分当4C 时，123262sinsinsin6422224ABC，根据正弦定理,得 sinsinabAB,所以622sin431sinsin 6bAaB；4 分当34C 时，3123262sinsinsin6422224ABC，根据正弦定理,得 sinsinabAB,所以
25、622sin431sinsin 6bAaB；#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#10综上，31a 6 分（2）略，同解法一解法三：（1）因为2b，2c 且6B,根据正弦定理,得 sinsinbcBC,所以22sinsin 6C，即2sin2C，1 分因为 cb，所以CB，所以 566C，所以4C 或34C，2 分当4C 时，76412ABC，根据正弦定理,得 sinsinabAB,所以72 sinsin122 2 sin2 2 sincoscossinsin343434sin 6bAaB2 2 sincoscossin31
26、3434；4 分当34C 时，36412ABC，根据正弦定理,得 sinsinabAB,所以2 sinsin122 2 sin2 2 sincoscossinsin343434sin 6bAaB2 2 sincoscossin313434；综上，31a 6 分（2）根据正弦定理,得22 2sinsinsinsin 6acbACB,所以2 2 sinaA，2 2 sincC，#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#11即252 2sinsin8sinsin6acACAA138sincossin22AAA22sin 24 3sin
27、AA1cos22sin24 32AA2sin 22 3cos22 3AA134sin 2cos22 322AA4sin 22 33A，8 分因为506A，所以42333A，所以当232A，即512A 时，sin 23A取得最大值为 1，即 ac 最大值为 42 3，所以ABC面积111123sinsin42 3226442ABCSacBacac，即ABC面积的最大值为 23212 分19.（本小题满分 12 分）国际上常采用身体质量指数（Body Mass Index，缩写 BMI）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是22kgBMIm 体重（单位：）身高（单位：）为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研
28、究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了 50 名男员工、30 名女员工的身高和体重数据计算得到他们的 BMI 值，并根据“中国成人的 BMI 数值标准”简称“指标”整理得到如下结果：（1）若该公司男员工有 1 500 名，则该公司共有多少名员工？（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取 2 名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和
29、数学运算等核心素养；体现应用性和创新性满分 12 分【解】（1）设该公司共有 x 名员工，依题意得1500505030 x，3 分指标人数性别偏瘦（BMI 18.5）正常（18.5BMI24）偏胖（24BMI28）肥胖（BMI28）男12171110女91173#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#12解得2 400 x，所以该公司共有 2 400 名员工 5 分（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为 404505，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为 2793010，7 分由事件的独立性，得抽到的两个男员工
30、都不存在肥胖的概率为 44165525，8 分抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为 99811010100，9 分设事件 M 为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件 M 为“抽到的员工都不存在肥胖”，所以 811632410025625P M，10 分所以3243011625625P M ，所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为 301625 12 分20.（本小题满分 12 分）如图，在底面为菱形的四棱锥MABCD 中，2ADBDMB，2MAMD（1）求证：平面 MAD 平面 ABCD；（2）已知2MNNB，求直线 BN 与平面 ACN 所成角的正弦值【命题意图】本小题主要考查直线与直
31、线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性满分 12 分【解答】（1）取 AD 的中点为 O，连结,OM OB，因为四边形 ABCD 是为菱形，且2ADBD，所以ABD 为正三角形，所以BOAD，且3BO 因为 MAMD2，所以 MOAD，2 分#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#13所以2222211MOMAAO，又因为2MB，所以222
32、MOBOMB，所以 MOBO，4 分因为 ADBOO，AD 平面 ABCD，BO 平面 ABCD所以 MO 平面 ABCD，5 分又因为 MO 平面 MAD，所以平面 MAD 平面 ABCD 6 分（2）由（1）知，,OA OB OM 两两垂直，故以O为坐标原点，分别以,OA OB OM 为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz则1,0,0,0,3,0,AB2,3,0,C0,0,1,M2 3 10,33N 7 分所以3,3,0,CA3 12,33CN2,0,0CB，设平面 ACN 的法向量为,x y zn，则00CACNnn，即330312033xyxyz，取1x ，则
33、1,3,3n9 分因为0,3,1,BM 则333 13cos13213BMBMBM ，nnn，11 分所以直线 BN 与平面 ACN 所成角的正弦值为 3 1313 12 分21.（本小题满分 12 分）#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#14已知椭圆22:143xyE 的右焦点为 F，左、右顶点分别为 A B，点 C 在 E 上，44PQPyQy，分别为直线 AC BC，上的点（1）求PQyy的值；（2）设直线 BP 与 E 的另一个交点为 D，求证：直线 CD 经过 F【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何
34、性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性满分 12 分【解答】（1）依题意，2 02 0AB，1 分设11C xy，则2211143xy，直线 AC 方程为1122yyxx，令4x 得1162Pyyx，2 分直线 BC 方程为1122yyxx，令4x 得1122Qyyx，3 分所以2121124PQyy yx2121123 144xx4 分9 ，即PQyy的值为 9 5 分（2）设224D xyPt，则直
35、线 AP 方程为26tyx，直线 BP 的方程为22tyx，由22263412tyxxy，得222227441080txt xt，6 分所以2124108227txt，即21254227txt，故112182627ttyxt7 分由22223412tyxxy，得2222344120txt xt，所以22241223txt，即222263txt，故2226223ttyxt 8 分#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#15所以122111xyxy22222227369182733 27tttttttt22226273327032
36、7ttttt，10 分又1 0F，所以向量111FCxy，与221FDxy，共线，11 分所以直线 CD 经过 F 12 分解法二：（1）依题意，2 02 0AB，1 分设11C xy，则2211143xy，所以111122ACBCyykkxx2 分21214yx21213 144xx3 分34 4 分即3442 42QPAPBQyykk，故PQy y 的值为 9 5 分（2）设11224C xyD xyPt，要证直线 CD 经过1 0F，只需证向量111FCxy，与221FDxy，共线，6 分即证122111xyxy（*）7 分因为2222112014343xy，所以111123246PAC
37、yxykxy，同理可得222223242PBDyxykxy，9 分所以21122123ACBDxykkxy，即1221123620 x yx yyy，同理可得1221123260 x yx yyy，10 分得12211244440 x yx yyy，即122111xyxy 11 分所以（*）式成立，命题得证12 分#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#1622.（本小题满分 12 分）已知函数 lnf xxa，记曲线 yf x在点 11xf x，处的切线为 l，l 在 x 轴上的截距为2x（20 x）（1）当1ex，1a 时
38、，求切线方程；（2）证明：12eeaaxx【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性满分 12 分【解答】（1）1()fxx，1 分当1ex，1a 时，1lne10f x，即切点为e 0，2 分所以所求切线斜率 1eekf，3 分所以所求的切线方程为1(e)eyx，即11eyx 4 分（2）由于11lnf xxa，所以切线l 的方程为1111(ln)()yxaxxx 5 分令0y，得11
39、11(ln)()xaxxx，解得2111(ln)xxxxa（*）6 分由20 x，得11eax7 分构造函数 (ln)g xxxxa，所以 lngxax，所以当 0eax 时，0gx，g x 单调递增；当eax时，0gx，g x 单调递减故 maxeeaag xg所以2 eax 8 分若1 eax，由（*）式知12xx，所以12 eaxx，故12eeaaxx10 分若1eax，则1212ee(e)(e)aaaaxxxx12()2eaxx，#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#17所以12111ee2(ln)2eaaaxxxxxa构造函数()2(ln)2eaxxxxa（1ee)aax，所以()(1)ln0 xax，故()x在区间1(eeaa，）上单调递增，所以()(e)0ax，所以1112(ln)2e0axxxa，即所以12ee0aaxx，即12eeaaxx综上，不等式成立12eeaaxx成立（当且仅当1eax 时取等号）12 分#QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=#
