1、选修4-1 几何证明选讲 41.1 相似三角形的判定和性质最新考纲 1.了解平行线等分线段定理和平行截割定理2掌握相似三角形的判定定理及性质定理3理解直角三角形射影定理1平行线等分线段定理定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的线段也_推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_2平行线分线段成比例定理相等相等平分第三边平分另一腰定理 三条平行线截两条直线，所得的_成比例推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的_成比例【思考探究】使用平行截割定理时要注意什么？提示：要注意对应线段、对应边对应
2、成比例，不要乱对应顺序对应线段对应线段3相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义 _，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的_对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似对应角相等两个角判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应_，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应_且夹角相等，两三角形相似判定定理3 对于任意
3、两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应_，那么这两个三角形相似简述为：三边对应_，两三角形相似(2)两个直角三角形相似的判定定理 如果两个直角三角形的一个锐角对应_，那么它们相似成比例成比例成比例成比例相等如果两个直角三角形的两条直角边对应_，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应_，那么这两个直角三角形相似(3)相似三角形的性质性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_；相似三角形周长的比等于_；相似三角形面积的比等于_；成比例成比例相似比相似比相似比的平方相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比
4、、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于_4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_相似比的平方比例中项 比例中项1如图所示，在ABC 中，MNDEDC，若 AEEC73，则 DBAB 的值为()A37 B73C310 D7102如图，锐角三角形 ABC 的高 CD 和高 BE 相交于 O，则与DOB 相似的三角形个数是()A1 B2C3 D43(2015广州模拟)如图，已知在ABCD 中，O1，O2，O3为对角线 BD 上三点，且 BO1O1O2O2O3O3D，连接 AO1并延长交 BC 于点 E，连接 EO3并延
5、长交 AD 于 F，则 ADFD 等于()A92 B91 C81 D714(2016西安模拟)如图，在ABC 中，M、N 分别是 AB、BC 的中点，AN、CM 交于点 O，那么MON 与AOC 面积的比是_第 4 题图 第 5 题图5如图，在ABC 中，DEBC，EFCD，若 BC3，DE2，DF1，则 AB 的长为_4 答案：1C 2.C 3.B 4.14 5.92 探究点一 平行线分线段成比例定理的应用)如图，ABC 中，D 为 BC 中点，E 在 AC 上且 AE2CE，AD、BE 相交于点 F，求AFFD，BFFE.解析：过点 D 作 DGAC 且交 BE 于点 G.因为点 D 为
6、BC 的中点，所以 EC2DG.因为 AE2CE，所以AEDG41.从而AFFDAEDG41，所以GFFE14.又因为 BGGE，所以BFFEBGGF4GFEF2GF4GF6GF4GF32.总结反思：(1)充分利用已知条件的比例作出相应的平行线段是关键(2)有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解(3)注意观察图形特点，巧添辅助线【变式训练】1.如图，ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM、CM的延长线分别交AC、AB于F、E.求证：EFBC.证明：延长 AD 至 G，使 DGMD，连接 BG、CG.BDDC，MDDG，四边形 BGC
7、M 为平行四边形 ECBG，FBCG，AEABAMAG，AFACAMAG，AEABAFAC，EFBC.探究点二 相似三角形的性质与判定定理)如图，已知在ABC中，点D是BC边上的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长解析：(1)证明：DEBC，D 是 BC 边上的中点，EBEC，BECD，又 ADAC，ADCACD，ABCFCD.(2)过点 A 作 AMBC，垂足为点 M，DM12DC52，则 BMBDDM552152.ABCFCD，BC2CD，SABCSFCDBCCD24.又SFCD5，SAB
8、C20.又 SABC12BCAM1210AM20，解得 AM4.又 DEAM，DEAMBDBM，DE4 5152，解得 DE83.总结反思：(1)相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系(2)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等【变式训练】2.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，DECA，且交BA的延长线于E，求证：EDCDEABD.证明：在梯形 ABCD 中，ABDC，ABCDCB.又 BCBC，ABCDCB.BACBDC，ACED，ADBC，EBACB
9、DC，EADABCDCB，EADDCB.EADCEDDB，即 EDCDEABD.探究点三 直角三角形射影定理的应用)如图所示，在ABC 中，CAB90，ADBC 于 D，BE 是ABC 的平分线，交 AD于 F，求证：DFAFAEEC.证明：由三角形的内角平分线定理得，在ABD 中，DFAFBDAB，在ABC 中，AEECABBC，在 RtABC 中，由射影定理知，AB2BDBC，即BDABABBC.由得：DFAFABBC，由得：DFAFAEEC.总结反思：(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时
10、常用的方法【变式训练】3.在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E.求证：(1)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.证明：(1)RtABC 中，ADBC，SABC12ABAC12BCAD.ABACBCAD.(2)RtADB 中，DEAB，由射影定理可得 BD2BEAB，同理 CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又 RtBAC 中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC，又 ABACBCAD.即 AD3BCCFBE.运用相似三角形的性质解题关键在于求出相似比，在具体论证过程中，往往是判定定理和性质定理结合运用，由判定三角形相似得到角相等或对
11、应线段成比例.射影定理的合理运用已知AD是ABC中BC边上的高，若AD2BDCD，则ABC的形状是_解析：若点 D 在线段 BC 上，如图 1 所示，由 AD2BDCD，可证ABDCAD，从而可得ABC 是直角三角形 若点 D 在线段 BC 的延长线上，如图 2 所示，则仍可证ABDCAD，但ABC 是钝角三角形 综上所述，ABC 是直角三角形或钝角三角形 答案：直角三角形或钝角三角形思维提升：射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似要注意对于直角三角形射影定理一定成立，但满足该结论的三角形不一定是直角三角形(因为三角形一边上的高可能在三角形外)，所以要搞清楚定理中的条件和
12、结论之间的关系，不能乱用友情提示 每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标41.1”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课 时 作 业4-1.141.2 直线与圆的位置关系最新考纲 1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论2掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理1圆周角定理(1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_(2)圆心角定理 圆心角的度数等于_推论1 同弧或等弧所对的圆周角_；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_推论2 半圆(或直
13、径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_一半它所对弧的度数相等相等直角直径 2圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1 圆的内接四边形的对角_定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的_(2)判定判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_互补对角共圆共圆3圆的切线的性质及判定定理(1)性质性质定理 圆的切线垂直于经过切点的_推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必过_推论2 经过切点且垂直于切线的直线必过_(2)判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_4弦切角的性质定理 弦切角等于它
14、所夹的弧所对的_5与圆有关的比例线段半径切点圆心 切线圆周角(1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的_相等(2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的_相等(3)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_(4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的_积积比例中项夹角1如图，O 与O相交于 A 和 B，PQ 切O 于 P，交O于 Q 和 M，交 AB 的延长线于 N，MN3，NQ15，则 PN()A3 B.15C3 2 D3 52(2015天津模拟)
15、如图，ACB90，CDAB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则()ACECBADDB BCECBADABCADABCD2 DCEEBCD23如图所示，已知 AB 和 AC 是圆 O 的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF3，FB1，EF32，则线段 CD 的长为()A.53 B.54C.43 D.324如图，AB 是半圆的直径，点 C、D 在 AB 上，且 AD 平分CAB，已知 AB10，AC6，则 AD_5如图所示，AB 是O 的直径，直线 CB 切O 于点 B，直线 CD
16、 切O 于点 D，CD交 BA 的延长线于点 E.若 AB3，ED2，则 BC 的长为_ 答案：1D 2.A 3.C 4.4 5 5.3探究点一 圆内接四边形的性质与判定定理)如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小解析：(1)证明：连接OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP，因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)由(1)得A，P，O，M四点共
17、圆，弧OM对应圆周角OAM、OPM相等，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.总结反思：证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补【变式训练】1.如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：CE平分DEF.证明：(1)在ABC中，因为B60，所以BACBCA120.因为AD、CE是角平分线，所以HACHCA60，故AHC1
18、20.于是EHDAHC120.因为EBDEHD180，所以B、D、H、E四点共圆(2)连接BH，则BH为ABC的平分线，得HBD30.由(1)知，B、D、H、E四点共圆，所以CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30.所以CE平分DEF.探究点二 弦切角和圆周角)如图所示，AD是ABC外角EAC的平分线，AD与ABC的外接圆交于点D，N为BC延长线上一点，ND交ABC的外接圆于点M.求证：(1)DBDC；(2)DC2DMDN.证明：(1)EADDAC，而DAC 与DBC 是同弧上的圆周角，即DACDBC，EADDBC.又A、B、C、D 四点共圆，EADDCB，DB
19、CDCB，DBDC.(2)连接 CM.DCN180DCB.B、C、M、D 四点共圆，DMC180DBC.由(1)知DBCDCB，DMCDCN.又CDNMDC，DMCDCN,DMDCDCDN，DC2DMDN.总结反思：(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角【变式训练】2.如图，AB为O的弦，CD切O于P，ACCD于C，BDDC于D，PQAB于Q.求证：PQ2ACBD.证明：连接PA，PB，如图所示CD切O于P，12.A
20、CCD于C，PQAB于Q.ACPPQB90，ACPPQB，AC：PQAP：BP.同理，BDPPQA，PQ：BDAP：BP.AC：PQPQ：BD，即PQ2ACBD.探究点三 圆的切线的性质及判定定理)如图，在 RtABC 中，C90，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEEB，且 AD2 3，AE6.(1)判断直线 AC 与BDE 的外接圆的位置关系；(2)求 EC 的长解析：(1)取 BD 的中点 O，连接 OE，则 DOOBOE.OBEBEO.BE 平分ABC，CBEOBE.CBEBEO，BCOE.C90，OEAC，直线 AC 是BDE 的外接圆的切线，即直线 AC
21、 与BDE 的外接圆相切(2)设BDE 的外接圆的半径为 r.在AOE 中，OA2OE2AE2，即(r2 3)2r262，解得 r2 3，BCOE，ECAEOBAO，即EC6 2 32 32 3，EC3.总结反思：利用圆的切线的判定定理判定直线与圆的位置关系，经过半径的外端且与此半径垂直的直线是圆的切线，从而可转化为证明线线垂直【变式训练】3.如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连接DE.请判断DE是否为O的切线，并证明你的结论3.解析：DE 是O 的切线 证明：如图，连接 OD、CD，则 ODOC，OCDODC.又 AC 为O 的直径，AD
22、C90.三角形 CDB 为直角三角形 又 E 为 BC 的中点，DE12BCCE，ECDEDC.又OCDECD90，ODCEDC90，即ODE90，DE 为O 的切线 探究点四 与圆有关的比例线段)如图所示，O1与O2相交于 A、B 两点，过点 A 作O1的切线交O2于点 C，过点B 作两圆的割线，分别交O1、O2于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P.(1)求证：ADEC；(2)若 AD 是O2的切线，且 PA6，PC2，BD9，求 AD 的长 解析：(1)证明：如图，连接 AB，AC 是O1的切线，BACD.又BACE，DE，ADEC.(2)PA 是O1的切线，PD 是O1 的割线，P
23、A2PBPD，62PB(PB9)，PB3.在O2中由相交弦定理，得 PAPCBPPE，PE4.DEBDBPPE93416.AD 是O2的切线，DE 是O2 的割线，AD2DBDE916，AD12.总结反思：(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用【变式训练】4如图，O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交O 于 N，过 N 点的切线交 CA
24、的延长线于 P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O 的半径为 2 3，OA 3OM，求 MN 的长 解析：(1)证明：连接 ON，则 ONPN，且OBN 为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根据切割线定理，有 PN2PAPC，PM2PAPC.(2)由题可知 OM2，在 RtBOM 中，BMOB2OM24.延长 BO 交O 于点 D，连接 DN.由条件易知BOMBND，于是BOBNBMBD，即2 3BN 44 3，BN6.MNBNBM642.1在圆中，只要有弧就有弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的证明提供了
25、条件2证明某条直线是圆的切线时，若已知直线过圆上的一点，则作出过该点的半径，证明直线与这条半径垂直；若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线，再证明垂线段长等于半径3四点共圆时，充分利用外角等于内对角、对角互补、相交弦、切割线、割线定理等证明等积式，由直径、切线构造直角三角形.证明四点共圆的常用方法(2015银川模拟)如图，在正ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，且 AD13AC，AE23AB，BD，CE 相交于点 F.(1)求证：A，E，F，D 四点共圆；(2)若正ABC 的边长为 2，求 A，E，F，D 所在圆的半径 解析：(1)证明：AE23AB，BE13AB.在正A
26、BC 中，AD13AC，ADBE，又ABBC，BADCBE，BADCBE，ADBBEC，即ADFAEF，所以 A，E，F，D 四点共圆 (2)如图，取 AE 的中点 G，连接 GD，则 AGGE12AE.AE23AB，AGGE13AB23，AD13AC23，DAE60，AGD 为正三角形，GDAGAD23，即 GAGEGD23，所以点 G 是AED 外接圆的圆心，且圆 G 的半径为23.由于 A，E，F，D 四点共圆，即 A，E，F，D 四点共圆 G，其半径为23.思维提升：证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆(2)若一个四边形的一组对角的和等于180，则这个四边
27、形的四个顶点共圆(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆(5)若AB，CD两线段相交于点P，且PAPBPCPD，则A，B，C，D四点共圆(6)若AB，CD两线段延长后相交于点P，且PAPBPCPD，则A，B，C，D四点共圆(7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆【跟踪体验】(2015郑州质量预测)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF4BF4，求线段BC的长解析：(1)证明：如图，连接AM，由AB为直径可知AMB90，又CDAB，所以AEFAMB90，因此A、E、F、M四点共圆(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BFBMBEBA，在RtABC中，BC2BEBA，又由MF4BF4，知BF1，BM5，所以BC25，BC.5友情提示 每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真对待它们吧！进入“课时达标41.2”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活页形式分册装订！课 时 作 业4-1.2